Đáp án:

a)

Xét $\triangle AEB$ có $OE=OA=OB=R$

$\Rightarrow \triangle AEB$ vuông tại $E$

$\Rightarrow AE\bot BE$

Xét $\triangle AEB$ có

$O$ là trung điểm của $AB$ 

$N$ là trung điểm của $BE$ (gt)

$\Rightarrow ON$ là đường trung bình của $\triangle AEB$

$\Rightarrow ON//AE$

mà $AE\bot BE$ (cmt)

$\Rightarrow ON\bot BE$ hay $OD\bot BE$

b)

Xét $\triangle BDE$ có

$DN$ là đường cao (do $OD\bot BE$-cmt)

$DN$ là đường trung tuyến ( do $N$ là trung điểm của $BE$-gt)

$\Rightarrow \triangle BDE$ cân tại $D$

c)

Xét $\triangle ODE$ và $\triangle ODB$ có:

$OD$ chung

$OE=OB=R$

$DE=DB$ (do $\triangle BDE$ cân tại $D$-cmt)

$\Rightarrow \triangle ODE=\triangle ODB$ (c.c.c)

$\Rightarrow \widehat{OED}=\widehat{OBD}$

mà $\widehat{OBD}=90^0$ (do $BD$ là tiếp tuyến của $(O)$)

$\Rightarrow \widehat{OED}=90^0$

$\Rightarrow DE$ là tiếp tuyến của $(O)$

d)

Ta có $ON$ là đường trung tuyến của $\triangle AEB$ (cmt)

$\Rightarrow ON=\dfrac{1}{2}AE$

mà $EM=MA=\dfrac{1}{2}AE$ (do $M$ là trung điểm của $AE$-gt)

$\Rightarrow ON=EM$

Xét $\triangle AEB$ có

$M$ là trung điểm của $AE$

$O$ là trung điểm của $AB$

$\Rightarrow OM$ là đường trung bình của $\triangle AEB$

$\Rightarrow OM=\dfrac{1}{2}BE$

mà $EN=NB=\dfrac{1}{2}BE$ (do $N$ là trung điểm của $BE$-gt)

$\Rightarrow OM=EN$

Xét tứ giác $MONE$ có

$ON=EM$

$OM=EN$

$\Rightarrow$ tứ giác $MONE$ là hình bình hành

mà $\widehat{MEN}=90^0$ (do $AE\bot BE$ -cmt)

$\Rightarrow $ tứ giác $MONE$ là hình chữ nhật.