a) Ta có:

$\widehat{ABM}=180-\widehat{ABC}=180-\widehat{ACB}=\widehat{ACN}$

Xét $ΔABM$ và $ΔACN$ có:

$AB=AC$ (do $ΔABC$ cân)

$\widehat{ABM}=\widehat{ACN}$

$BM=CN$ (gt)

$⇒ΔABM=ΔACN$ (c-g-c)

$⇒AM=AN$ ($2$ cạnh tương ứng)

$⇒ΔAMN$ cân tại $A$
b) Vì $ΔABM=ΔACN$ nên $BH=CK$ ($2$ đường cao tương ứng)

c) Xét $ΔAHB$ vuông và $ΔAKC$ vuông có:

$AB=AC$

$BH=CK$ (theo ý b)

$⇒ΔAHB=ΔAKC$ (cạnh huyền - cạnh góc vuông)

$⇒AH=AK$ ($2$ cạnh tương ứng)

d) Xét $ΔAHO$ vuông và $ΔAKO$ vuông có:

$AO$ là cạnh chung

$AH=AK$ (theo ý c)

$⇒ΔAHO=ΔAKO$ (cạnh huyền - cạnh góc vuông)

$⇒HO=KO$ ($2$ cạnh tương ứng)

Mà $OB=OH-HB=OK-CK=OC ⇒ΔOBC$ cân tại $O$

e) Vì $\widehat{BAC}=60$ độ nên $ΔABC$ đều

$⇒\widehat{B}=\widehat{C}=60$ độ

$⇒\widehat{ABM}=\widehat{ACN}=180-60=120$ độ

$⇒\widehat{AMN}=\widehat{ANM}=(180-120):2=30$ độ

$⇒\widehat{MAN}=180-30.2=120$ độ

$ΔBHM$ vuông tại $H$ có $\widehat{HMB}=30$ độ

$⇒\widehat{HBM}=60$ độ

$⇒\widehat{OBC}=60$ độ (đối đỉnh với $\widehat{HBM}$)

$ΔOBC$ cân có $\widehat{OBC}=60$ độ $⇒ΔOBC$ đều.