Câu 18:

Gọi $X$ là đường kính của một loại chi tiết máy

$\Rightarrow X\sim \mathscr{N}(10;0,01)$

a) Xác suất để chi tiết đó có đường kính trong khoảng từ $9\ mm$ đến $11\ mm:$

$\quad P(9\leqslant X \leqslant 11) = \phi\left(\dfrac{11 - 10}{0,1}\right) - \phi\left(\dfrac{9 - 10}{0,1}\right)$

$\Leftrightarrow P(9\leqslant X \leqslant 11) = \phi(10) + \phi(10)$

$\Leftrightarrow P(9\leqslant X \leqslant 11) = 1$

Vậy chi tiết đó có đường kính trong khoảng từ $9\ mm$ đến $11\ mm$ gần như $100\%$

b) Xác suất để chi tiết đó có đường kính sai khác so với kì vọng không vượt quát $0,2\ mm$

$\quad P(9,8\leqslant X \leqslant 10,2) = \phi\left(\dfrac{10,2 - 10}{0,1}\right) - \phi\left(\dfrac{9,8 - 10}{0,1}\right)$

$\Leftrightarrow P(9,8\leqslant X \leqslant 10,2) = \phi(2) + \phi(2)$

$\Leftrightarrow P(9,8\leqslant X \leqslant 10,2) = 2.0,4772$

$\Leftrightarrow P(9,8\leqslant X \leqslant 10,2) = 0,9544$

Vậy xác suất chi tiết đó có đường kính sai khác so với kì vọng không vượt quát $0,2\ mm$ là $0,9544$

Câu 19:

Gọi $X$ là chiều cao của một người trưởng thành

$\Rightarrow X\sim \mathscr{N}(175;16)$

Xác suất người trưởng thành có chiều cao dưới mức $m:$

$\quad P(X < m) = 40\%$

$\Leftrightarrow \dfrac12 + \phi\left(\dfrac{m - 175}{4}\right) = 0,4$

$\Leftrightarrow \phi\left(\dfrac{175- m}{4}\right) = 0,1$

$\Leftrightarrow \phi\left(\dfrac{175- m}{4}\right) = \phi(0,206)$

$\Leftrightarrow \dfrac{175 - m}{4} = 0,206$

$\Leftrightarrow m = 174,176$

Vậy $m = 174,176\ cm$

Câu 22:

a) Gọi $\mu$ là tuổi thọ trung bình của bóng đèn

Giả thuyết kiểm định:

$\begin{cases}H_o: \mu = 380\\H_1: \mu \ne 380\end{cases}$

Giá trị kiểm định:

$T = \dfrac{(\overline{x} - \mu_o)\sqrt n}{s} = \dfrac{(360 - 380)\sqrt{50}}{100} = - \sqrt2$

Ta có:

$\alpha = 0,05 \Rightarrow Z_{\tfrac{\alpha}{2}} = 1,96$

Do $|T| < Z_{\tfrac{\alpha}{2}}$ nên chấp nhận giả thuyết $H_o,$ bác bỏ $H_1$

Vậy có thể cho rằng dây chuyền này hoạt động bình thường, với mức ý nghĩa $5\%$

b) Ta có:

$1- \alpha = 0,95 \Rightarrow Z_{\tfrac{\alpha}{2}} = 1,96$

Độ chính xác:

$\varepsilon = Z_{\tfrac{\alpha}{2}}\dfrac{s}{\sqrt {n}} = 1,96\cdot \dfrac{100}{\sqrt{50}} = 27,7186$

Gọi $\mu$ là tuổi thọ trung bình của bóng đèn

Khoảng ước lượng tuổi thọ trung bình của bóng đèn:

$\mu \in (360 - 27,7186;360 + 27,7186) = (332,2814;387,7186)$

Vậy tuổi thọ trung bình của bóng đèn khoảng từ $332,2814$ giờ đến $387,7186$ giờ, với độ tin cậy $95\%$