Gửi ông :

$a,$ Dễ chứng minh được: $AEMF$ là hình chữ nhật

$⇒$ $\widehat{EMF}=90^o$

$⇒$ $\widehat{FMD}+\widehat{EMB}=90^o$

Vì: $BD$ là đường chéo của hình vuông $ABCD$

$⇒$ $BD$ là đường phân giác hình vuông $ABCD$

$⇒$ $\widehat{FDM}=\widehat{EBM}=45^o$

$⇒$ $\widehat{EMB}=90^o-\widehat{EBM}=45^o$

Mà: $\widehat{FMD}+\widehat{EMB}=90^o$

$⇒$ $\widehat{FMD}=\widehat{FDM}=45^o$

$⇒$ $ΔFMD$ vuông cân tại $F$

$⇒$ $FM=DF=AE$

$⇒$ $ΔDAE=ΔCDF(cgv-cgv)$

$⇒$ $CF=DE$

 Vì $ΔDAE=ΔCDF$

$⇒$ $\widehat{AED}=\widehat{CFD}$

$\widehat{ADE}=\widehat{FCD}$

Gọi $DE∩CF=G$

Xét $ΔFGD$ có:

$\widehat{FGD}+\widehat{FDG}+\widehat{DFG}=180^o$

$⇒\widehat{FGD}+\widehat{ADE}+\widehat{AED}=180^o$

$⇒\widehat{FGD}+90^o=180^o$

$⇒$ $\widehat{FGD}=90^o$

$⇒$ $CF⊥DE$

$b,c$ Xét $ΔADM$ và $ΔCDM$ có:

$AD=CD$

$DM$ chung

$\widehat{ADM}=\widehat{CDM}=45^o$

$⇒$ $ΔADM=ΔCDM(c-g-c)$

Mà: $AEMF$ là hình chữ nhật.

$⇒$ $CM=AM=EF$

Gọi $K$ là giao điểm của $MF$ và $BC$

Ta có: $CK=DF$ ($DFKC$ là hình chữ nhật)

$⇒$ $CK=FM$ ($ΔFMD$ vuông cân tại $F→FD=FM$)

$CMTT:$ $KM=ME$

$⇒$ $ΔCKM=ΔFME$ $(c.c.c)$

$⇒$ $\widehat{KCM}=\widehat{MFE}$

$⇒$ $CM⊥EF$ ( Cái này dễ lắm, trình ông làm đc thoi ._.)

$CMTT$ ta được: $BF⊥CE$

Xét $ΔCEF$ có:

$CM,DE,BF$ là các đường cao

$⇒$ $CM,DE,BF$ đồng quy tại tại một điểm là trực tâm $ΔCEF$

$⇒$ $ĐPCM$

$d,$ Ta có: 

$⇒$ $AE+EM=AE+EB=AB$ (không đổi)

$⇒$ $(AE-EM)^2≥0$

$⇒$ $AE^2-2AE.EM+EM^2≥0$

$⇒$ $AE^2+EM^2≥2AE.EM$

$⇒$ $AE^2+2AE.EM-2AE.EM+EM^2≥2AE.EM$

$⇒$ $(AE+EM)^2≥4AE.EM$

 $⇒$ $[\dfrac{(AE+EM)}{2}]^2≥AE.EM$

$⇒$  $\dfrac{AB^2}{4}≥S_{AEMF}$

Vậy $Max_{S_{AEMF}}$  khi $AE = EM$ $⇒$ $M$ là giao điểm của $BD,AC$ của hình vuông $ABCD$

$---$

$NL:$ Bởi khả năng đánh máy tính chậm như gà rù mà sau hơn 50p cuối cùng tôi cũng đã giải xong ._.

$\\$

`a.`

Gọi `I=DE∩CF`

`hat{FDM}=1/2hat{ADC}=1/2 . 90^o = 45^o`

(`hat{ADC}=90^o` do `ADC` là hình vuông và `DB` là phân giác `hat{ADC}`)

`hat{FDM}+hat{FMD}=90^o`

`->hat{FMD}=90^o-hat{FDM}=90^o-45^o=45^o`

`->hat{FDM}=hat{FMD}`

`->\triangle DFM` cân tại `F`

`->DF=FM` mà `FM=AE` (Do `AFME` là hình chữ nhật)

`-> AE=DF`

`\triangle ADE` và `\triangle DCF` có :

`AD=DC` (Do `ABCD` là hình vuông)

`hat{FDC}=hat{EAD}=90^o` (Do `ABCD` là hình vuông)

`AE=DF` 

`->\triangle ADE=\triangle DCF` (cạnh - góc - cạnh)

`-> CF=DE` và `hat{ADE}=hat{DCF}`

`hat{DCF}+hat{DFC}=90^o`

`->hat{DCI}+hat{DFI}=90^o`

`->hat{FDI}+hat{DFI}=90^o`

`->hat{DIF}=90^o`

`->CF\bot DE`

`b,`

Gọi `H=BC∩MF, V=CM∩EF`

$AE//FM$ (Do `AEMF` là hình chữ nhật)

Hay $MH//AB$ mà `AB\bot BC` (Do `ABCD` là hình vuông)

`->` $MH\bot BC$ hay `MH\bot BH, MH\bot CH`

Dễ dàng chứng minh `BEMH` là hình chữ nhật

`->ME=MH`

Dễ dàng chứng minh `DFHC` là hình chữ nhật

`-> DF=CH` mà `DF=AE` (Do `\triangle ADE=\triangle DCF`)

`-> AE=CH` mà `AE=FM` (Do `AEMF` là hình chữ nhật)

`-> CH=FM`

`\triangle EMF` và `\triangle MHC` có :

`CH=FM` 

`MH=ME`

`hat{EMF}=hat{MHC}=90^o`

`->\triangle EMF=\triangle MHC` (cạnh - góc - cạnh)

`-> CM=EF` và `hat{EFM}=hat{MCH}`

`hat{CMH}+hat{MCH}=90^o`

`->hat{VFM}+hat{VMF}=90^o`

`->hat{FVM}=90^o`

`-> CM\bot EF`

`c,`

Chứng minh tương tự ta được : `BF\bot EC`

`\triangle EFC` có : 

`BF` là đường cao

`DE` là đường cao

`CM` là đường cao

`->BF,DE,CM` đồng quy tại trực tâm của `\triangle EFC`

`d,`

Đặt `AE=a, ME=b`

`-> a,b>0`

Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số dương `a,b` ta được :

`a+b\ge 2\sqrt{ab}`

`-> (a+b)^2\ge 4ab`

`-> ab\le (a+b)^2/4`

`S_{AEMF}=ab\le (a+b)^2/4`

`-> S_{AEMF}\le (AE+ME)^2/4`

Dấu "`=`" xảy ra khi : `a=b↔ AE=MF`

`-> AEMF` là hình vuông

`->AM` là tia phân giác `hat{DAB}` mà `AC` là tia phân giác `hat{DAB}`

`-> AC` đi qua `M` mà `BD` đi qua `M`

`-> M=AC∩ BD`

Vậy `M=AC∩BD` để `S_{AEMF}` nhỏ nhất