Đáp án:

a) Trong tứ giác AHCE có hai đường chéo HE và AC  cắt nhau tại trung điểm D của mỗi đường(DH=DE; DA=DC)

⇒AHCE là hình bình hành

Hình bình hành AHCE có ∠AHC=90°

⇒ AHCE là hình chữ nhật

b) Ta có: HC//AE ( AHCE là hình chữ nhật) ( H ∈ BC )

mà I thuộc đường thẳng BC 

⇒HI // AE (1)

Có: AI//HE ( giả thiết) (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

AEHI là hình bình hành

c) Ta có: AE=HC (AHCE là hình chữ nhật)

mà         AE= HI (AEHI là hình bình hành)

⇒HC=HI (3)

Xét Δ IHA và Δ CHA có:

HI = HC [ Từ (3)]

∠IHA = ∠CHA=90 ° ( AH là đường cao của Δ ABC)

HA cạnh chung 

⇒ Δ IHA = Δ CHA ( c.g.c)

⇒∠HAC= ∠HAI ( hai góc tương ứng)

⇒ AK là tia phân giác của ∠IAC

d) Xét tứ giác CAIK có:

HI=HC [ Từ (3)]

AH=HK ( giả thiết)

⇒ Hai đường chéo CI và AK cắt nhau tại trung điểm H của mỗi đường

⇒ CAIK là hình bình hành

Hình bình hành CAIK có đường chéo AK là đường phân giác của góc IAC ( chứng minh ở c )

⇒ CAIK là hình thoi 

Hình thoi CAIK là hình vuông 

⇔ AK =IC 

⇔ AH =HC hay AH vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến của ΔABC

⇔ ΔABC là Δ vuông, cân tại A

Hình  chữ nhật AHCE có hai cạnh kề AH và HC = nhau

⇒ AHCE là hình vuông 

Vậy ΔABC là Δ vuông, cân tại A thì tứ giác CAIK là hình vuông và tứ giác AHCE là hình vuông

Giải thích các bước giải:

 

a) Vì `E` đối xứng với `H` qua `D`
nên `D` là trung điểm của `HE`
Ta có:
Tứ giác `AHCE` có hai đường chéo `HE` và `AC` cắt nhau tại trung điểm `D` của mỗi đường
`=>` `AHCE` là hình bình hành
mà `AH` $\bot$ `HC`
nên `AHCE` là hình chữ nhật
b) Vì `AHCE` là hình chữ nhật
nên `AE`$\parallel$`HC` hay `AE`$\parallel$`IH`
Xét tứ giác `AEHI` có:
`AE`$\parallel$`IH`
`AI`$\parallel$`HE`
Do đó `AEHI` là hình bình hành
c) Ta có: `AE=HC` (AHCE là hình chữ nhật)
mà AE= HI (AEHI là hình bình hành)
`⇒HC=HI `
Xét Δ IHA và Δ CHA có:
`HI` `=` `HC` (cmt)
$\widehat{IHA}$ = $\widehat{CHA}$ (=90 ° vì `AH` là đường cao của Δ ABC)
`HA` là cạnh chung
`⇒ Δ IHA = Δ CHA ( c.g.c)`
⇒$\widehat{HAC}$= $\widehat{HAI}$ `( hai góc tương ứng)`
⇒ `AK` là tia phân giác của $\widehat{IAC}$
d) Xét tứ giác `CAIK` có:
`HI=HC``(cmt)`
`AH=HK (gt)
⇒ Hai đường chéo `CI` và `AK` cắt nhau tại trung điểm `H` của mỗi đường
⇒ `CAIK` là hình bình hành
Hình bình hành`CAIK` có đường chéo `AK` là đường phân giác của $\widehat{IAC}$ (cmt tại câu c )
⇒ `CAIK` là hình thoi
Hình thoi `CAIK` là hình vuông (có góc = 90°)
⇒ `AK =IC `
⇒` AH =HC`
⇒ `AH` vừa là đường cao,đường trung tuyến của ΔABC
⇒ ΔABC là Δ vuông, cân tại A
Hình chữ nhật `AHCE` có hai cạnh kề bằng nhau ( `AH` = `HC`)
⇒ `AHCE` là hình vuông
Vậy `ΔABC` là `Δ` `vuông` và cân tại $\widehat{A}$
⇒ tứ giác `CAIK` là hình vuông
⇒ tứ giác `AHCE` là hình vuông
$@FANCONANANIME$