Đặt $t=3^x,t>0$, phương trình đã cho trở thành: $(m+3)t^2+(2m-1)t+m+1=0$   $(1)$

Giả sử phương trình có hai nghiệm trái dấu $x_1<0<x_2$, khi đó $3^{x_1}<3^0<3^{x_2}$

Hay $0<t_1<1<t_2$

Nói cách khác, phương trình $(1)$ phải có hai nghiệm dương phân biệt, một nghiệm lớn hơn $1$ và một nghiệm nhỏ hơn $1$.

$*)$ phương trình có $2$ nghiệm dương phân biệt khi:

$\begin{cases}
  \bigtriangleup > 0 \\ 
 S>0  \\ 
 P>0 
\end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases}
 (2m-1)^2-4(m+1)(m+3)>0 \\ 
 -\frac{2m-1}{m+3}>0\\ 
 \frac{m+1}{m+3}>0
\end{cases}$

$\Leftrightarrow 
\begin{cases}
m<-\frac{11}{20}\\ 
-3<m<\frac{1}{2}\\ 
m<-3\vee -1<m
\end{cases} \Leftrightarrow   -1<m<-\frac{11}{20}$  $(a)$

$*) $ một nghiệm lớn hơn $1$ và một nghiệm nhỏ hơn $1$

$(t_1-1)(t_2-1)<0$

$ \Leftrightarrow t_1t_2-(t_1+t_2)+1<0$

$\Leftrightarrow \frac{m+1}{m+3}+\frac{2m-1}{m+3}+1<0$

$\Leftrightarrow \frac{4m+3}{m+3}<0$

$\Leftrightarrow -3<m<-\frac{3}{4}$  $(b)$

Kết hợp $(a)$ và $(b)$ ta được $-1<m<-\frac{3}{4}$

Chọn $C.$