Đáp án:

a) Ta có: E đối xứng với H qua D

⇒⇒D là trung điểm của HE

Xét tứ giác AHCE có

D là trung điểm của đường chéo AC(gt)

D là trung điểm của đường chéo HE(gt)

Do đó: AHCE là hình bình hành(dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

Hình bình hành AHCE có AHCˆ=900(AH⊥BC)AHC^=900(AH⊥BC)

nên AHCE là hình chữ nhật(dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)

b) Ta có: AHCE là hình chữ nhật(cmt)

⇒⇒AE//CH(hai cạnh đối trong hình chữ nhật AHCE)

hay AE//HI

Xét tứ giác AIHE có

AE//HI(cmt)

EH//AI(gt)

Do đó: AIHE là hình bình hành(định nghĩa hình bình hành)

c)Ta có: AE=CH(do AE và CH là hai cạnh đối trong hình chữ nhật AHCE)

mà AE=HI(do AE và HI là hai cạnh đối trong hình bình hành AIHE)

nên CH=HI

mà H nằm giữa C và I

nên H là trung điểm của CI

Xét tứ giác AIKC có

H là trung điểm của đường chéo AK(do AH=HK; A,H,K thẳng hàng)

H là trung điểm của đường chéo CI(cmt)

Do đó: AIKC là hình bình hành(dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

Hình bình hành AIKC có AK⊥⊥CI(do AH⊥⊥BC, K∈∈AH, I∈∈BC)

nên AKIC là hình thoi(dấu hiệu nhận biết hình thoi)

d) Để hình thoi CAIK là hình vuông thì ACKˆ=900ACK^=900

mà CI là tia phân giác của ACKˆACK^(do CI là đường chéo trong hình thoi CAIK)

nên ACIˆ=450ACI^=450

hay ACBˆ=450ACB^=450

Xét ΔΔABC vuông tại A có ACBˆ=450ACB^=450(cmt)

nên ΔΔABC vuông cân tại A

Ta có: ΔΔABC vuông cân tại A(cmt)

mà AH là đường cao ứng với cạnh đáy BC(gt)

nên AH cũng là đường trung tuyến ứng với BC(định lí tam giác cân)

⇒AH=BC2=CH=BH⇒AH=BC2=CH=BH

Hình chữ nhật AHCE có AH=CH(cmt)

nên AHCE là hình vuông(dấu hiệu nhận biết hình vuông)

Vậy: khi tam giác ABC có thêm điều kiện AB=AC thì CAIK là hình vuông và khi đó, tứ giác AHCE là hình vuông

Giải thích các bước giải: