Đáp án:

 

Giải thích các bước giải:

 Giải: Xét tam giác ACD có F,G lần lượt là trung điểm AC,DC nên FG là đường trung bình
⇒FG//AD
C/m tương tự đc EH//AD;GH//EF//BC
⇒EFGH là hình bình hành
a/Để EFGH là hình chữ nhật thì góc \(FGH=90^o\)
⇒gócHGD+gócFGC=90o
Mà góc HGD=góc BCD;góc FGC= góc ADC ( góc đồng vị = nhau)
⇒ góc BCD+góc ADC=90o
⇒Để EFGH là hình chữ nhật thì tứ giác ABCD cần có góc BCD+góc ADC=\(90^o\)
b/Để EFGH là hình thoi thì FG=HG
Mà FG=1/2AD; HG=1/2BC
⇒AD=BC
⇒Để EFGH là hình thoi thì tứ giác ABCD có AD=BC
c/ Để EFGH là hình vuông thì EFGH phải vừa là hình chữ nhật vừa là hình thoi⇒ABCD phải có đủ cả 2 điều kiện trên

a) Ta có tứ giác ABCD là hình vuông

=> AB=AD

Xét ΔADE và ΔABF có

          AD=AB

 Góc ADE= góc ABF=90

          DE=BF

=> ΔADE=ΔABF(c-g-c)

=>AE=AF và góc DAE= góc BAF

Có góc DAE+ góc EAB=90

=> Góc EAB+ góc BAF=90

=> Góc EAF=90

Xét ΔAEF có AE=AF

=> ΔAEF cân tại A

 có Góc EAF=90

=> ΔAEF vuông cân tại A

b) Kẻ EG//BC ; G∈BD

=> Góc BFI= góc GEI

Xét ΔDEG vuông tại E có góc GDE=45

=> ΔDEG vuông cân tại E

=> GE=DE 

Mà DE=BF

=> GE=BF

Xét ΔBIF và ΔGIF có

           IF=IE

    Góc BFI= góc GEI

          BF=GE

=> ΔBIF=ΔGIF

=> góc BIF= góc GIF

=> B;I;D thẳng hàng

=> I∈BD

c)Có K đối xứng với A qua I

=> I là trung điểm của AK

Xét tứ giác AEKF có I là trung điểm của AK

                                I là trung điểm của EF

=> Tứ giác AEKF là hbh

mặt khác có góc EAF=90 và AE=AF

=> Tứ giác AEKF là hình vuông