Đáp án:

AD=$\frac{DB}{3}$

Giải thích các bước giải:

Ta có: 

$\frac{HD}{HB}$ =$\frac{DM}{CB}$ =$\frac{1}{2}$

$\frac{BI}{ID}$ =$\frac{BN}{AD}$ =$\frac{1}{2}$

⇒ DH=HI=IB

Gọi G là trung điểm MC

⇒$\frac{GM}{GC}$ =$\frac{1}{2}$ 
   $\frac{HM}{MC}$ =$\frac{1}{3}$ 

⇒ $\frac{GM-HM}{MC}$ =$\frac{1}{6}$ 

⇒ $\frac{GH}{MC}$ =$\frac{1}{6}$ 

⇒ $\frac{GH}{GM}$ =$\frac{1}{3}$ 

⇒ $\frac{GH}{HM}$ =$\frac{1}{2}$ 

$\frac{FG}{MA}$ =$\frac{FG}{MD}$ =$\frac{1}{2}$

⇒ A, H, F thẳng hàng

Xét tam giác ABH có E và I lần lượt là trung điểm BA, BH

⇒ EI//AH hay EI//HF

Mặt khác $\frac{EI}{AH}$ =$\frac{HF}{AH}$ =$\frac{1}{2}$

⇒ EI=HF

⇒ EIHF là hình bình hành

Để EIHF là hình chữ nhật thì EF=HI

Mà HI=$\frac{DB}{3}$, EF=AD

⇒ AD=$\frac{DB}{3}$

Vậy hình bình hành ABCD phải thỏa mãn AD=$\frac{DB}{3}$ để EIFH là hình chữ nhật