Bổ sung đề : $AC=2AB$

$c,\\AB\bot AC, EK\bot AC\\\Rightarrow AB//EK\\\Rightarrow AB//ME$

$\triangle AHB$ và $\triangle MHE$ có :

$\widehat{AHB}=\widehat{MHE}\\BH=HE\\\widehat{ABH}=\widehat{MEH}\\\Rightarrow \triangle AHB=\triangle MHE (g.c.g)\\\Rightarrow AH=HM$

Mà $A,H,M$ thẳng hàng

$\Rightarrow H$ là trung điểm của $AM$ 

$\Rightarrow AH=HM=\dfrac{1}{2}AM(1)$

$\triangle AKM$ vuông tại $K$ có $KH$ là đường trung tuyến

$\Rightarrow HK=\dfrac{1}{2}AM(2)\\(1)(2)\Rightarrow AH=HK=HM\\S_{\triangle ABC}=\dfrac{1}{2}.AB.AC\\S_{\triangle ABC}=\dfrac{1}{2}.AH.BC\\\Rightarrow AH.BC=AB.AC$

$\triangle ABC$ vuông tại $A$ có :

$AB^2+AC^2=BC^2$ (Pytago)

$(AH+BC)^2=(HK+BC)^2=AH^2+2.AH.BC+BC^2$

Do $AH^2>0$

$\Rightarrow (HK+BC)^2> BC^2 + 2.AH.BC=AB^2+2.AB .AC + AC^2\\\Rightarrow (HK+BC)^2>(AB+AC)^2\\\Rightarrow HK+BC > AB+AC=AB + 2AB\\\Rightarrow HK+BC>3AB$