Giải thích các bước giải:

1.Ta có $AB$ là đường kính của $(O)\to AD\perp BM, AE\perp EB$

Mà $AB\perp MN$

$\to BD\cdot BM=BA^2=BE\cdot BN$

$\to\dfrac{BD}{BN}=\dfrac{BE}{BM}$

Mà $\widehat{DBE}=\widehat{MBN}$

$\to\Delta BDE\sim\Delta BNM(c.g.c)$

$\to \widehat{BDE}=\widehat{BNM}$

$\to MNED$ nội tiếp

2.Vẽ đường tròn ngoại tiếp $\Delta BMN, (BMN)\cap AB=P$

Ta có :

$\widehat{BED}=\widehat{BMN}=\widehat{BPN},\widehat{IBE}=\widehat{BPN}$

$\to\Delta BEI\sim\Delta BPN(g.g)$

$\to\dfrac{BE}{BP}=\dfrac{BI}{BN}$

$\to BI.BP=BE.BN=BA^2$

$\to BP=\dfrac{BA^2}{BI}\to P$ cố định

Mà $\widehat{PAN}=\widehat{MAB},\widehat{APN}=\widehat{BPN}=\widehat{BMN}=\widehat{BMA}$

$\to \Delta ABM\sim\Delta ANP(g.g)$
$\to\dfrac{AM}{AP}=\dfrac{AB}{AN}$

$\to AM.AN=AB.AP$ không đổi

3.Vẽ đường tròn ngoại tiếp $DMNE, (DMNE)\cap AB=C,F$ (như hình vẽ)

Chứng minh tương tự câu 2 có $AF\cdot AC=AM\cdot AN\to AF\cdot AC=AP\cdot AB$ 

Lại có $BCF, BDM$ là cát tuyến tại $B$ với $(DMNE)$

$\to BC\cdot BF=BD\cdot BM=BA^2$

$\to \begin{cases}BC\cdot BF=BA^2\\ \\ AF\cdot AC=AP\cdot AB\end{cases}$

$\to \begin{cases}(AB-AC)\cdot (AB+AF)=BA^2\\ \\ AF\cdot AC=AP\cdot AB\end{cases}$

$\to \begin{cases}AB^2+AB(AF-AC)-AF\cdot AC=BA^2\\ \\ AF\cdot AC=AP\cdot AB\end{cases}$

$\to \begin{cases}AB(AF-AC)=AF\cdot AC\\ \\ AF\cdot AC=AP\cdot AB\end{cases}$

$\to \begin{cases}AB(AF-AC)=AP\cdot AB\\ \\ AF\cdot AC=AP\cdot AB\end{cases}$

$\to \begin{cases}AF-AC=AP\\ \\ AF\cdot AC=AP\cdot AB\end{cases}$

$\to \begin{cases}AF=AC+AP\\ \\ (AC+AP)\cdot AC=AP\cdot AB\end{cases}$

$\to \begin{cases}AF=AC+AP\\ \\ AC^2+AC\cdot AP-AP\cdot AB=0\to C\text{ cố định}\end{cases}$

$\to C,F$ cố định

$\to $Tâm $(DENM)$ thuộc trung trực của $CF$ cố định