Giải thích các bước giải:

a.Ta có $IM\perp AB, IN\perp AC, AB\perp AC$

$\to AMIN$ là hình chữ nhật

b.Ta có $I, D$ đối xứng qua $N\to N$ là trung điểm $ID$

Mà $AC\perp ID=N$

$\to AC$ là trung trực của $ID$

$\to AD=AI, CI=CD$

Ta có $\Delta ABC$ vuông tại $A, I$ là trung điểm $BC\to IA=IC=IB=\dfrac12CB$

$\to AI=IC=CD=DA$

$\to AICD$ là hình thoi

c.Ta có $\Delta ABC$ vuông tại $A\to AB=\sqrt{BC^2-AC^2}=15$

$\to S_{ABC}=\dfrac12AB\cdot AC=150$

d.Ta có $IN\perp AC, AB\perp AC\to IN//AB$

Mà $I$ là trung điểm $BC\to N$ là trung điểm $AC$

Gọi $AI\cap BN=G$

$\to G$ là trọng tâm $\Delta ABC$

$\to IG=\dfrac13IA$

Ta có $AICD$ là hình thoi $\to AI//CD\to\widehat{GIN}=\widehat{NDK}$

Xét $\Delta NIG,\Delta NDK$ có:

$\widehat{GNI}=\widehat{DNK}$

$NI=ND$

$\widehat{NIG}=\widehat{NDK}$

$\to\Delta NIG=\Delta NDK(g.c.g)$

$\to IG=DK$

Lại có $AI=DC, IG=\dfrac13IA$

$\to DK=\dfrac13DC$

$\to \dfrac{DK}{DC}=\dfrac13$