a) $n = 100;\ m = 60$

Tỉ lệ sản phẩm đạt tiêu chuẩn trong mẫu:

$f = \dfrac{m}{n} = \dfrac{60}{100} = 0,6$

Ta có:

$1 - \alpha = 0,95 \Rightarrow Z_{\tfrac{\alpha}{2}} = 1,96$

Độ chính xác:

$\varepsilon = Z_{\tfrac{\alpha}{2}}\sqrt{\dfrac{f(1-f)}{n}} = 1,96\sqrt{\dfrac{0,6(1-0,6)}{100}} = 0,096$

Gọi $p$ là tỉ lệ sản phẩm đạt tiêu chuẩn của dây chuyền

Ước lượng tỉ lệ sản phẩm đạt tiêu chuẩn của dây chuyền là:

$p\in (0,6 - 0,096;0,6 +0,096) = (0,504;0,696)$

Vậy tỉ lệ sản phẩm đạt tiêu chuẩn của dây chuyền khoảng từ $50,4\%$ đến $69,6\%$ với độ tin cậy $95\%$

b) $n = 100;\ m' = 40$

Tỉ lệ sản phẩm không đạt tiêu chuẩn trong mẫu:

$f' = \dfrac{m'}{n} = \dfrac{40}{100} = 0,4$

Ta có:

$1 - \alpha = 0,95 \Rightarrow Z_{\alpha} = 1,65$

Độ chính xác:

$\varepsilon = Z_{\alpha}\sqrt{\dfrac{f(1- f)}{n}} = 1,65\sqrt{\dfrac{0,4.(1-0,4)}{100}} = 0,0808$

Gọi $p'$ là tỉ lệ sản phẩm không đạt tiêu chuẩn

Khoảng ước lượng tỉ lệ sản phẩm không đạt tiêu chuẩn tối đa là:

$p'\in (-\infty;0,4 + 0,0808) = (-\infty;0,4808)$

Vậy tỉ lệ sản phẩm không đạt tiêu chuẩn tối đa là $48,08\%$ với độ tin cậy $95\%$