Giải thích các bước giải:

$\begin{array}{l}
\dfrac{{2x + 1}}{{{x^2} + 2}} = \dfrac{{\dfrac{1}{2}\left( {{x^2} + 4x + 4 - {x^2} - 2} \right)}}{{{x^2} + 2}}\\
 = \dfrac{{\dfrac{1}{2}\left( {{x^2} + 4x + 4} \right) - \dfrac{1}{2}\left( {{x^2} + 2} \right)}}{{{x^2} + 2}}\\
 = \dfrac{{\dfrac{1}{2}{{(x + 2)}^2} - \dfrac{1}{2}({x^2} + 2)}}{{{x^2} + 2}}\\
 = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{{{(x + 2)}^2}}}{{{x^2} + 2}} - \dfrac{1}{2} \ge 0 - \dfrac{1}{2} =  - \dfrac{1}{2}
\end{array}$

Vậy GTNN là: `-1/2` tại `x=-2`

$\begin{array}{l}
\dfrac{{2x + 1}}{{{x^2} + 2}} = \dfrac{{ - ({x^2} - 2x + 1) + {x^2} + 2}}{{{x^2} + 2}}\\
 = \dfrac{{ - {{\left( {x - 1} \right)}^2} + {x^2} + 2}}{{{x^2} + 2}}\\
 = \dfrac{{ - {{(x - 1)}^2}}}{{{x^2} + 2}} + 1\\
 \le 0 + 1 = 1
\end{array}$

Vây GTLN là `1` tại `x=1`