a) M=n(n+1)(n+2) là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp.

=> M chia hết cho 2 và M chia hết cho 3.

=> M chia hết cho 6.

b) Giả sử (2n+5;3n+7)=d.

Ta có:

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
2n + 5\,\, \vdots \,\,d\\
3n + 7\,\, \vdots \,\,d
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
3\left( {2n + 5} \right)\,\, \vdots \,\,d\\
2\left( {3n + 7} \right)\,\, \vdots \,\,d
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
6n + 15\,\, \vdots \,\,d\\
6n + 14\,\, \vdots \,\,d
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow \left( {6n + 15} \right) - \left( {6n + 14} \right)\,\, \vdots \,\,d\\
 \Rightarrow 1\,\, \vdots \,\,d\\
 \Rightarrow d = 1
\end{array}\)

Vậy (2n+5;3n+7)=1 => 2n+5 và 3n+7 là hai SNT cùng nhau.

c) p là SNT lớn hơn 3 => p là số lẻ => p^2 là số lẻ => p^2 + 2003 là số chẵn.

Vậy p^2 + 2003 > 2003 là số chẵn => p^2 + 2003  là hợp số.

Đáp án:

 

Giải thích các bước giải:

 a Vì n,n+1,n+2 là 3 số tự nhiên liên tiếp nên sẽ có 1 số chia hết cho 3

⇒n(n+1)(n+2)$\vdots$3 1

Vì n,n+1,n+2 là 3 số tự nhiên liên tiếp nên ít nhất sẽ có 1 số là số chẳn

⇒n(n+1)(n+1)$\vdots$2 2

Từ 1 và 2 ⇒n(n+1)(n+2)$\vdots$6

b) $ƯCLN_{(2n+5;3n+7)}$=d

Ta có $\left \{ {{2n+5\vdots d} \atop {3n+7\vdots d}} \right.$⇒$\left \{ {{6n+15\vdots d} \atop {6n+14\vdots d}} \right.$ 

⇒6n+15-6n+14 $\vdots$ d

⇒1$\vdots$ d

⇒d∈$Ư_{(1)}$ ={1}

⇒$ƯCLN_{(2n+5;3n+7)}$=1

⇒2n+5 và 3n+7 là 2 số nguyên tố cùng nhau

c) Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p là số lẻ

⇒p² là số lẻ bình phương lên mà số lẻ bình phương lên cũng là số lẻ nên p²+2003 là số lẻ cộng với số lẻ nên là số chẳn chia hết cho 2

⇒p²+2003 là hợp số