Đáp án`+`Giải thích các bước giải:

 `a)` Xét `triangleABC` có:

`IA=IC` ( `I` là trung điểm `AC` )

`BM=MC` ( `AM` là đường trung tuyến của `triangleABC` )

`=>IM` là đường trung bình của `triangleABC`

`=>IM=(AB)/2`

hay `IM=AK` `(AK=(AB)/2)`

Xét `triangleABC` có:

`KA=KB` ( `K` là trung điểm `AB` )

`BM=MC` $(cmt)$

`=>KM` là đường trung bình của `triangleABC`

`=>KM=(AC)/2`

hay `KM=AI` `(AI=(AC)/2)` 

Lại có: `AB=AC` `(triangleABC` cân tại `A)`

`=>IM=KM`

`=>IM=KM=AK=AI`

`=>AKMI` là hình thoi

$\\$

 `b)` Xét `triangleABC` cân tại `A` có: 

`AM` là đường trung tuyến

`=>AM` đồng thời là đường cao

`=>AM\botBC`

`=>\hat{AMC}=90^{o}`

Xét tứ giác `AMCN` có:

`MI=IN` ( `N` là điểm đối xứng của `M` qua `I` )

`AI=IC` ( `I` là trung điểm của `AC` )

`AC` cắt `MN` tại `I`

`=>AMCN` là hình bình hành

Mà `\hat{AMC}=90^{o}`

`=>AMCN` là hình chữ nhật

Xét `triangleABC` có:

`KA=KB` $(cmt)$

`IA=IC` $(cmt)$

`=>KI` là đường trung bình của `triangleABC` 

`=>` $KI//BC$ hay $KI//MC$

Xét tứ giác `MKIC` có:

$KI//MC$ $(cmt)$

$KM//IC$ ( `KM` là đường trung bình của `triangleABC` )

`=>MKIC` là hình bình hành

$\\$

 `c)` Vì `AMCN` là hình chữ nhật $(cmt)$

`=>` $AN//MC$ hay $AN//BM$

Xét tứ giác `ABMN` có:

$AN//BM$

$MN//AB$ ( `IM` là đường trung bình của `triangleABC` )

`=>ABMN` là hình bình hành

Lại có: `AM` và `BN` là hai đường chéo

Mà `E` là trung điểm của `AM`

`=>E` là trung điểm của `BN`