Đáp án:

$\dfrac{80}{393}$

Lời giải:

Không gian mẫu là xếp 5 người vào 3 phòng bệnh khác nhau.

$+$ Xếp 5 người vào 1 phòng:

Chọn 1 phòng trong 3 phòng có $C_3^1$ cách, xếp 5 bệnh nhân vào.

Có $C_3^1=3$ cách 

$+$ Xếp 4 người 1 phòng:

Chọn 4 người từ 5 người có $C_5^4$ cách

Chọn 1 phòng từ 3 phòng có $C_3^1$ cách, xếp 4 người vừa chọn vào

Chọn 1 phòng trong 2 phòng còn lại có $C_2^1$ cách, xếp 1 người còn lại vào.

Có $C_5^4.C_3^1.C_2^1=30$ cách.

$+$ Xếp 3 người 1 phòng, 2 người 1 phòng:

Chọn 3 người từ 5 người có $C_5^3$ cách

Chọn 1 phòng từ 3 phòng có $C_3^1$ cách, xếp 3 người vừa chọn vào

Chọn 1 phòng từ 2 phòng còn lại có $C_2^1$ cách, xếp 2 người còn lại vào.

Có $C_5^3.C_3^1.C_2^1=60$ cách

$+$ Xếp 3 người 1 phòng, 1 người 1 phòng, 1 người 1 phòng:

Chọn 3 người từ 5 người có $C_5^3$ cách

Chọn 1 phòng từ 3 phòng có $C_3^1$ cách, xếp 3 người vừa chọn vào

Chọn 1 người từ 2 người còn lại có $C_2^1$ cách

Chọn 1 phòng từ 2 phòng còn lại có $C_2^1$ cách, xếp 1 người vừa chọn vào, người còn lại xếp vào phòng còn lại.

Có $C_5^3.C_3^1.C_2^1.C_2^1=120$ cách.

$+$ Xếp 1 người 1 phòng, 2 phòng 2 người:

Chọn 1 người từ 5 người có $C_5^1$ cách

Chọn 1 phòng từ 3 phòng có $C_3^1$ cách, xếp 1 người vừa chọn vào

Chọn 2 người từ 4 người còn lại có $C_4^2$ cách

Chọn 1 phòng từ hai phòng còn lại có $C_2^1$ cách, xếp 2 người vừa chọn vào, 2 người còn lại xếp vào phòng còn lại.

Có $C_5^1.C_3^1.C_4^2.C_2^1=180$ cách.

$\Rightarrow n(\Omega)=3+30+60+120+180=393$ cách

Gọi A là biến cố xếp cho phòng đầu có 2 bệnh nhân

$+$ Xếp 2 người 1 phòng, 3 người 1 phòng

Chọn 2 người từ 5 người có $C_5^2$ cách, xếp 2 người vừa chọn vào phòng đầu.

Chọn 1 trong 2 phòng còn lại có $C_2^1$ cách, xếp 3 người còn lại vào phòng vừa chọn.

$+$ Xếp 2 phòng 2 người, 1 phòng 1 người

Chọn 2 người từ 5 người có $C_5^2$ cách, xếp 2 người được chọn vào phòng đầu.

Chọn 2 người từ 3 người còn lại có $C_3^2$ cách

Chọn 1 phòng trong 2 phòng còn lại có $C_2^1 $ cách, xếp 2 người vừa chọn vào, xếp 1 người còn lại vào phòng còn lại.

$\Rightarrow n(A)=C_5^2.C_2^1+C_5^2.C_3^2.C_2^1=80$ cách

Vậy $P(A)=\dfrac{n(A)}{n(\Omega)}=\dfrac{80}{393}$.