Đáp án:

$a)$ $\dfrac{a\sqrt{30}}{2}$

$b)$ $\varphi$ với $\sin \varphi = \dfrac{1}{\sqrt{5}}$

Giải thích các bước giải:

Gọi H là trung điểm của AO.

Ta có: $MH//SO$ mà $SO\perp (ABCD)$ 

$⇒MH\perp (ABCD)$

$⇒HN$ là hình chiếu vuông góc của MN lên $(ABCD)$

$⇒\widehat{MNH}=$ $\displaystyle\widehat{(MN,(ABCD))}=60^{\circ}$

$a)$ $ΔHCN:$

$HN^2=CH^2+CN^2-2.CH>CN\cos 45^{\circ}$

$⇒HN^2=\bigg(\dfrac{3a\sqrt{2}}{4}\bigg)^2+\bigg(\dfrac a2\bigg)^2-2.\dfrac{3a\sqrt{2}}{4}.\dfrac a2. \dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{5a^2}{8}$

$ΔMHN:$

$\cos\widehat{MNH}=\cos 60^{\circ}=\dfrac{NH}{MN}=\dfrac 12$

$⇒MN=2NH=\dfrac{a\sqrt{10}}{2}$

$\tan 60^{\circ} = \dfrac{MH}{HN}=\sqrt{3}$

$⇒MH=\dfrac{a\sqrt{15}}{2\sqrt{2}}$

$⇒SO=2MH=\dfrac{a\sqrt{30}}{2}$

b. Trong mặt phẳng $(ABCD),$ gọi K là giao điểm của HN và BD. 

Giao tuyến của $(SBD)$ và $(MHN)$ là đường thẳng qua K và $//SO.$ Giao tuyến này cắt MN tại E

$AC\perp BD$ và $SO$

$⇒AC\perp(SBD)$

Gọi I là trung điểm của OB

$⇒NI//AC$

$⇒NI\perp(SBD)$

$⇒$ Hình chiếu của MN trên $(SBD)$ là EI

$⇒\widehat{(MN,(SBD))}=\widehat{NEI}$

$\Diamond OHIN$ là hình bình hành $⇒$ K là trung điểm NH

$⇒$ E là trung điểm MN

$NI\perp ( SBD)$

$⇒NI\perp IE$

$\Delta NIE$ vuông 

$\sin\widehat{NEI}=\dfrac{2NI}{MN}=\dfrac{\dfrac{a\sqrt{2}}{2}}{\dfrac{a\sqrt{10}}{2}}=\dfrac 1{\sqrt{5}}$

$⇒$ Góc giữa MN và $(SBD)$ là $\varphi$ với $\sin\varphi = \dfrac{1}{\sqrt{5}}$