a) Ta có E, G là trung điểm AB, BC nên EG là đường trung bình của tam giác ABC, do đó EG// AC và $EG = \dfrac{1}{2} AC = AF = FC$.

Xét tứ giác AEGF có EG//AF và EG//AF. Lại có $\widehat{FAE} = 90^{\circ}$.

Vậy tứ giác AEGF là hình chữ nhật.

b) Ta có IF// EB, EI//BF. Vậy tứ giác EBFI là hình bình hành.

c) Do G là trung điểm BC nên AG là đường trung tuyến của tam giác ABC. Lại có tam giác ABC vuông tại A nên $AG = GB = GC = \dfrac{1}{2} BC$.

Do FI//AB nên $FI\perp AC$. Lại có F là trung điểm AC nên tam giác ACI cân tại I. Do đó IA = IC.

Do tứ giác AEGF là hình chữ nhật nên AG = FE.

Do tứ giác EBFI là hình bình hành nên FI = EB = AE. Lại có AE//FI nên tứ giác AEFI là hình bình hành.

Vậy FE = AI.

Do đó AI = AG (=FE).

Xét tứ giác AGCI có CI = IA =AG = GC. Vậy tứ giác AGCI là hình thoi.

d) Để tứ giác AGCI là hình vuông thì $\widehat{CGA} = 90^{\circ}$. Do đó AG là đường cao.

Lại có AG là đường trung tuyến nên tam giác ABC phải cân tại A.

Vậy để tứ giác AGCI là hình vuông thì tam giác ABC phải vuông cân tại A.