Đáp án:

 

Giải thích các bước giải:

a) Tam giác ABD nội tiếp trong đường tròn có AB là đường kính nên ˆBDA=90∘BDA^=90∘ hay ˆMDN=90∘MDN^=90∘

Tam giác ACM nội tiếp đường tròn có AC là đường kính nên ˆAMC=90∘AMC^=90∘

Suy ra: CM⊥AD⇒ˆCMD=90∘CM⊥AD⇒CMD^=90∘

Tam giác BCN nội tiếp trong đường tròn có BC là đường kính nên ˆBNC=90∘BNC^=90∘

Suy ra: CN⊥BD⇒ˆCND=90∘CN⊥BD⇒CND^=90∘

Tứ giác CMDN có ba góc vuông nên nó là hình chữ nhật.

b) Tam giác ACD vuông tại C có CM ⊥ AD.

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:

CD2=DM.DACD2=DM.DA    (1)

Tam giác BCD vuông tại C nên CN ^ BD.

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:

CD2=DN.DBCD2=DN.DB (2)

Từ (1) và (2) suy ra: DM.DA = DN.DB

c) Gọi P là trung điểm của AC, Q là trung điểm của BC, I là giao điểm của MN với DC.

Vì CMDN là hình chữ nhật nên IC = IM = ID = IN

Tam giác CNI cân tại I nên ˆICN=ˆINCICN^=INC^   (3)

Tam giác CNQ cân tại Q nên ˆQCN=ˆQNCQCN^=QNC^   (4)

Vì AB ^ CD nên ˆICN+ˆQCN=90∘ICN^+QCN^=90∘    (5)

Từ (3), (4) và (5) suy ra: ˆINC+ˆQNC=90∘INC^+QNC^=90∘ hay MN ^ QN

Vậy MN là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BC.

Tam giác CMI cân tại I nên ˆICM=ˆIMCICM^=IMC^       (6)

Tam giác CMP cân tại P nên ˆPCM=ˆPMCPCM^=PMC^   (7)

Vì AB ⊥ CD nên ˆPCM+ˆICM=90∘PCM^+ICM^=90∘   (8)

Từ (6), (7) và (8) suy ra: ˆPMC+ˆIMC=90∘PMC^+IMC^=90∘ hay MN ⊥ PM

Vậy MN là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AC.

d) Gọi O là trung điểm của AB

Tứ giác CMDN là hình chữ nhật nên CD = MN

Trong tam giác OCD ta có: CD≤ODCD≤OD nên MN≤ODMN≤OD

Vì OD không đổi nên MN = OD là giá trị lớn nhất khi và chỉ khi C trùng với O.

Vậy C là trung điểm của AB thì MN có độ dài lớn nhất.

Chúc bạn học tốt :