Đáp án:

Góc giữa $(SBC)$ và $(SCD)$ là $\widehat{PAQ}=\arccos\dfrac{\sqrt{10}}{5}$ 

Giải thích các bước giải:

$+)$ Dựng đường thẳng đi qua A và $\perp(SCD)$

Trong mặt phẳng $(ABCD)$ dựng $AH\perp CD$ tại H $⇒CD\perp ( SAH)$

Trong mặt phẳng $(SAH)$ dựng $AP\perp SH⇒CD\perp AP⇒AP\perp(SCD)$

$+)$ Dựng đường thẳng đi qua A và vuông góc với $(SBC)$

Trong mặt phẳng $(SAC)$ dựng $AQ\perp SC$

Mặt khác: $AQ\perp BC$ vì $BC\perp AC; BC\perp SA$

$⇒BC\perp (SAC)$

$⇒BC\perp AQ$

$⇒AQ\perp (SBC)$

$⇒$ Góc giữa hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(SCD)$ là hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng ấy là AP và AQ.

Vì ABCD là nửa lục giác đều

$⇒AD=DC=CB=a$

Có $AH=\sqrt{AD^2-HD^2}=\sqrt{a^2-\dfrac{a^2}4}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$

$⇒\dfrac 1{AP^2}=\dfrac 1{AS^2}+\dfrac 1{AH^2}$

$⇒AP=\dfrac{a\sqrt{3}}{\sqrt{5}}$

$ΔSAC$ vuông cân tại A

$⇒AQ=\dfrac{SC}2=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}$

$ΔAPQ$ vuông tại P $⇒\cos \widehat{PAQ}=\dfrac{AP}{AQ}=\dfrac{\sqrt{10}}{5}$

$⇒\widehat{PAQ}=\arccos\dfrac{\sqrt{10}}{5}$