Đáp án: $m=1_{}$ để đường thẳng $(d)_{}$ cắt parabol $(P)_{}$ tại hai điểm phân biệt.

Giải thích các bước giải:

  Phương trình hoành độ giao điểm của $(P)và(d)_{}$ là: 

            $x^{2}=mx+m+1$ 

⇔ $x^{2}-mx-m-1=0$ $(1)_{}$ 

Từ phương trình hoành độ giao điểm của $(P)và(d)_{}$ ta có được phương trình $(1)_{}$ 

            $x^{2}-mx-m-1=0$ 

    $(a=1;b=-m;c=-m-1)_{}$ 

$Δ=b^2-4ac_{}$

     = $(-m)^{2}-4.1.(-m-1)$ 

     = $m^{2}-(-4m-4)$ 

     = $m^{2}+4m+4$ 

     = $(m+2)^{2}$ $\geq0$ $∀m_{}$ 

Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.

    Theo hệ thức vi-ét ta có:

$S=x_{1}+x_2$ = $-\frac{b}{a}$ = $-\frac{-m}{1}$ = $m_{}$

$P=x_{1}x_2$ = $\frac{c}{a}$ = $\frac{-m-1}{1}=-m-1$

   $\frac{1}{x_1}$ + $\frac{1}{x_2}$ = $-\frac{1}{2}$ 

⇔ $\frac{x_2}{x_1x_2}$ + $\frac{x_1}{x_1x_2}$ = $-\frac{1}{2}$ 

⇔ $\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}$ = $-\frac{1}{2}$ 

⇔ $\frac{S}{P}$ = $-\frac{1}{2}$ 

⇔ $\frac{m}{-m-1}$ = $-\frac{1}{2}$ 

⇔ $\frac{2m}{2(-m-1)}$ = $\frac{-1(-m-1)}{2(-m-1)}$ 

⇔ $2m=m+1_{}$ 

⇔ $2m-m=1_{}$ 

⇔ $m=1_{}$ 

Vậy $m=1_{}$ để đường thẳng $(d)_{}$ cắt parabol $(P)_{}$ tại hai điểm phân biệt.