Câu 1:

$f = \dfrac{425}{500} = 0,85$

Gọi $p$ là tỉ lệ sinh viên trường đại học $A$ đồng ý học trực tiếp tại trường

Giả thuyết kiểm định:

$\begin{cases}H_o: p \leqslant 0,8\\H_1: p > 0,8\end{cases}$

Giá trị kiểm định:

$Z = \dfrac{0,85 - 0,8}{\sqrt{\dfrac{0,8.(1-0,8)}{500}}} = 2,8$

Ta có:

$\alpha = 0,05 \Rightarrow Z_{\alpha} = \varphi(0,45) = 1,65$

Do $Z > Z_{\alpha}$ nên bác bỏ $H_o,$ chấp nhận $H_1$

Vậy với mức ý nghĩa $5\%,$ có thể cho rằng tỉ lệ sinh viên trường đại học $A$ đồng ý học trực tiếp tại trường lớn hơn $80\%$

Câu 2:

Gọi $A_1;\ A_2$ lần lượt là biến cố sản phẩm được sản xuất từ máy thứ nhất và máy thứ hai

$\Rightarrow \{A_1;A_2\}$ là một hệ đầy đủ

Gọi $B$ là biến cố sản phẩm lấy ra là chính phẩm

a) Xác suất lấy được phế phẩm:

$P(\overline{B}) = P(A_1).P(\overline{B}/A_1) + P(A_2).P(\overline{B}/A_2)$

$\qquad\ = \dfrac13\cdot (1-0,9) + \left(1-  \dfrac13\right)\cdot (1- 0,85)$

$\qquad\ = \dfrac{2}{15}$

b) Xác suất chính phẩm do máy thứ hai sản xuất

$P(A_2/B) = \dfrac{P(A_2).P(B/A_2)}{P(B)}$

$\qquad\qquad = \dfrac{\left(1 - \dfrac13\right)\cdot 0,85}{1 - \dfrac{2}{15}}$

$\qquad\qquad = \dfrac{17}{26}$

Câu 3:

Gọi $A_1;A_2;A_3$ lần lượt là biến cố khách hàng trả tiền tại nhà, khách hàng trả tiền qua đường bưu điện và khách hàng trả tiền qua ngân hàng

$\Rightarrow \{A_1;A_2;A_3\}$ là một hệ đầy đủ

Gọi $B$ là biến cố khách hàng trả tiền đúng hẹn

a) Xác suất khách hàng trả tiền đúng hẹn:

$P(B) = P(A_1).P(B/A_1) + P(A_2).P(B/A_2) + P(A_3).P(B/A_3)$

$\qquad\ = 40\%.50\% + 40\%.60\% + 20\%.80\%$

$\qquad\ = 0,6$

Xác suất khách hàng trả tiền đúng hẹn là khách trả qua đường bưu điện:

$P(A_2/B) = \dfrac{P(A_2).P(B/A_2)}{P(B)}$

$\qquad\qquad = \dfrac{40\%.60\%}{0,6}$

$\qquad\qquad = 0,4$

b) Gọi $X$ là số khách hàng trả tiền đúng hẹn trong `5` khách hàng. $X = 0,1,2,3,4,5$

$\Rightarrow X$ có phân phối nhị thức: $X\sim \mathscr{B}(5;0,6)$

Xác suất không người nào trả tiền đúng hẹn:

$P(X = 0) = C_5^00,6^0(1 - 0,6)^5 = 0,01024$

Xác suất có ít nhất một người trả tiền đúng hẹn:

$P(X\geqslant 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - 0,01024 = 0,98976$