Bài 1:

Vẽ đường tròn $(O,R)$.

Vẽ đường kính $AC,$ qua $O$ kẻ đường thẳng vuông góc với $AC$, cắt đường tròn tâm $O$ tại, $B, D$,

Tứ giác $ABCD$ có hai đường chéo $AC, BD$ vuông góc và bằng nhau (bằng 2R) nên $ABCD$ là hình vuông cần dựng.

Áp dụng định lý Pi-ta-go vào $\Delta OAB\bot O$

$AB^2=OA^2+OB^2=R^2+R^2=2R^2\Rightarrow AB=R\sqrt2$

Bài 2:

a) Do $\Delta ABC$ đều nên $AO$ là phân giác $\widehat {BAC}$, cũng là đường cao $\widehat{BAC}\Rightarrow AO\bot BC$ mà $OQ\bot BC\Rightarrow A, O, Q$ thẳng hàng.

$\Delta BOQ\bot Q$ có $\widehat{OBQ}=\dfrac{\widehat{ABC}}{2}=\dfrac{60^o}{2}=30^o$

$\Rightarrow\widehat{BOQ}=90^o-\widehat{OBQ}=60^o$

Chứng minh tương tự $\widehat{COQ}=60^o$

$\Rightarrow \widehat{BOC}=\widehat{BOQ}+\widehat{COQ}=120^o$

b) Áp dụng hệ thức lượng vào $\Delta$ vuông $BOQ$ có:

$\tan\widehat{BOQ}=\dfrac{BQ}{OQ}$

$\Rightarrow BQ=OQ\tan\widehat{BOQ}=R\tan60^o=R\sqrt3$

$\Rightarrow BC=2BQ=2R\sqrt3$