a)

Khi q và 4q được giữ cố định, ta chỉ cần tìm điều kiện để điện tích Q cân bằng.

Do \(q\) và \(4q\) cùng dấu ta suy ra \(Q\) phải nằm giữa AB

Gọi C là điểm đặt \(Q\) để 3 điện tích cân bằng.

Ta có các lực tác dụng lên Q phải bằng 0

\( \Rightarrow \overrightarrow {{F_{AC}}}  + \overrightarrow {{F_{BC}}}  = \overrightarrow 0 \)  

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {F_{AC}} = {F_{BC}} \Leftrightarrow k\dfrac{{\left| {qQ} \right|}}{{A{C^2}}} = k\dfrac{{\left| {4qQ} \right|}}{{B{C^2}}}\\ \Rightarrow \dfrac{{BC}}{{AC}} = 2 \Rightarrow BC = 2AC\end{array}\)

Lại có: \(AC + BC = AB \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AC = \dfrac{{AB}}{3}\\BC = \dfrac{{2AB}}{3}\end{array} \right.\)

Vậy phải đặt Q ở vị trí cách A một đoạn \(AC = \dfrac{{AB}}{3} = \dfrac{r}{3}\) với \(Q\) âm dương tùy ý (không phụ thuộc vào dấu của Q)

b)

Hai điện tích q và 4q để tự do.

Ta kết hợp điều kiện cân bằng của Q ở câu a thì cần thêm điều kiện cặp lực do Q và 4q tác dụng lên q phải cân bằng.

\(\overrightarrow {{F_{CA}}}  + \overrightarrow {{F_{BA}}}  = \overrightarrow 0 \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{F_{CA}}}  \uparrow  \downarrow \overrightarrow {{F_{BA}}} \\{F_{CA}} = {F_{BA}}\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow Q < 0\) (1)

Và \({F_{CA}} = {F_{BA}} \Leftrightarrow k\dfrac{{\left| {qQ} \right|}}{{\dfrac{{A{B^2}}}{9}}} = k\dfrac{{\left| {q4q} \right|}}{{A{B^2}}} \Rightarrow \left| Q \right| = \dfrac{4}{9}q\) (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra \(Q =  - \dfrac{4}{9}q\)