Trang chủ Toán Học Lớp 8 Cho hình chữ nhật ABCD , AC cắt BD tại...

Cho hình chữ nhật ABCD , AC cắt BD tại O . Lấy M là một điểm thuộc cạnh CD , MO cắt AB tại N a) Chứng minh : tứ giác BNDM là hình bình hành b) Từ điểm M , N kẻ

Câu hỏi :

Cho hình chữ nhật ABCD , AC cắt BD tại O . Lấy M là một điểm thuộc cạnh CD , MO cắt AB tại N a) Chứng minh : tứ giác BNDM là hình bình hành b) Từ điểm M , N kẻ đường thẳng song song với AC , lần lượt cắt AD và BC tại E , F . Chứng minh : MENF là hình bình hành c) Chứng minh : 3 đường thẳng AC , MN , EF đồng quy d) Cho BD cắt NF tại I . Chứng minh : I là trung điểm của NF

Lời giải 1 :

a) Xét $\Delta NOB$ và $\Delta MOD$ có:

$\widehat{NOB}=\widehat{MOD}$ (đối đỉnh)

$OB=OD$

$\widehat{NBO}=\widehat{MDO}$ (so le trong)

$\Rightarrow \Delta NOB=\Delta MOD$

$\Rightarrow NB=MD$ mà $NB\parallel MD$

$\Rightarrow BNDM$ là hình bình hành (tứ giác có 1 cặp cạnh đối diện song song và bằng nhau)

 

b) Ta có $\widehat{M_1}=\widehat{C_1}$ (đồng vị)

$\widehat{C_1}=\widehat{A_1}$ (so le trong)

$\widehat{A_1}=\widehat{N_1}$ (đồng vị)

Từ 3 điều trên theo tính chất bắc cầu

$\Rightarrow \widehat{M_1}=\widehat{N_1}$

Lại có $DM=BN$ (do $\Delta NOB=\Delta MOD$ chứng minh ở trên)

$\Rightarrow \Delta $ vuông $EDM=\Delta $ vuông $FBN$ (Cạnh góc vuông. góc nhọn kề)

$\Rightarrow EM=NF$ (hai cạnh tương ứng)

Mà $EM\parallel NF$ ($\parallel AC$)

$\Rightarrow MENF$ là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau)

 

c) Tứ giác $ABCD$ là hình vuông $\Rightarrow AC\cap BD=O$ khi đó $O$ là trung điểm $AC,BD$

Tứ giác $BNDM$ là hình bình hành nên hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường

Có $O$ là trung điểm của $BD\Rightarrow O$ là trung điểm của $MN$

Tương tự $MENF$ là hình bình hành có $O$ là trung điểm $MN$

$\Rightarrow O$ là trung điểm $EF$

Suy ra $AC, MN,EF$ đồng quy tại $O$ là trung điểm mỗi đường.

 

d) Do $NF\parallel AC\Rightarrow IF\parallel OC\Rightarrow \dfrac{IF}{OC}=\dfrac{BI}{BO}$

$NI\parallel AO\Rightarrow\dfrac{NI}{AO}=\dfrac{BI}{BO}$

Từ 2 điều trên theo tính chất bắt cầu suy ra

$\dfrac{IF}{OC}=\dfrac{NI}{AO}$ mà $OC=AO$

$\Rightarrow IF=NI$

$\Rightarrow I$ là trung điểm $NF$.

image

Thảo luận

Lời giải 2 :

 

 

Giải thích các bước giải:

a)ta có tứ giacs ABCD là hcn=> AB//DC; OA=OB=OC=OD

Xét tam giác OBN và tam giác ODM có:

              \[\begin{array}{l}
\widehat {BON} = \widehat {DOM}\\
OB = OD\\
\widehat {NBO} = \widehat {MDO}
\end{array}\]

=> ΔOBN=ΔODM(g-c-g)

=> NB=DM

Xét tứ giác BNDM có: BN//DM

                                    BN=DM

=> Tứ giác BNDM là hbh

b)

cmtt câu a ta có tứ giác DEBF là hbh=>DE=BF

áp dụng pytago=> EM=NF

Xét tứ giác MENF có;   ME//NF(cùng //AC)

                                      ME=NF

=> tứ giác MENF là hbh

c) ta có tứ giác BNDM là bhb=> O là trung điểm của MN

             tứ giác MENF là hbh=> Olaf trung điểm của EF

            tứ giacs ABCD laf hcn=> O là trung điểm của AC

=> AC;MN;EF đồng quy tại O

d) Xét tam giác ABO có: NI//AO

=>        \[\frac{{BN}}{{BA}} = \frac{{NI}}{{AO}}\](1)

Xét tam giác BOC có:IF//CO

=>  \[\frac{{BF}}{{BC}} = \frac{{FI}}{{BO}}\](2)

Xét tam giác BAC có: NF//AC

=> \[\frac{{BN}}{{BA}} = \frac{{BF}}{{BC}}\](3)

từ (1)(2)(3)=> \[\frac{{IN}}{{OA}} = \frac{{IF}}{{OC}}\]

mà OA=OC

=> NI=IF

=> I là trung điểm của NF

 

 

Bạn có biết?

Toán học là môn khoa học nghiên cứu về các số, cấu trúc, không gian và các phép biến đổi. Nói một cách khác, người ta cho rằng đó là môn học về "hình và số". Theo quan điểm chính thống neonics, nó là môn học nghiên cứu về các cấu trúc trừu tượng định nghĩa từ các tiên đề, bằng cách sử dụng luận lý học (lôgic) và ký hiệu toán học. Các quan điểm khác của nó được miêu tả trong triết học toán. Do khả năng ứng dụng rộng rãi trong nhiều khoa học, toán học được mệnh danh là "ngôn ngữ của vũ trụ".

Nguồn : Wikipedia - Bách khoa toàn thư

Tâm sự 8

Lớp 8 - Năm thứ ba ở cấp trung học cơ sở, học tập bắt đầu nặng dần, sang năm lại là năm cuối cấp áp lực lớn dần nhưng các em vẫn phải chú ý sức khỏe nhé!

Nguồn : ADMIN :))

Copyright © 2021 HOCTAP247