Câu 6:

$\quad f(x) = \dfrac{1}{x+2}$

$\Rightarrow f^{(n)}(x) = \dfrac{(-1)^n.n!}{(x+2)^{n+1}}$

Với $n=11$ ta được:

$f^{(11)}(x) = \dfrac{-11!}{(x+2)^{12}}$

Tại $x =0$ ta được:

$f^{(11)}(0) = \dfrac{-11!}{2^{12}}$

Câu 7:

$\quad f(x) = x^{\ln x}$

$\Leftrightarrow \ln f(x) = \ln x^{\ln x}$

$\Leftrightarrow \ln f(x) = \ln^2x$

$\Rightarrow \dfrac{f'(x)}{f(x)} = \dfrac{2\ln x}{x}$

$\Rightarrow f'(x) = \dfrac{2\ln xf(x)}{x}$

$\Rightarrow f'(x) = \dfrac{2\ln x.x^{\ln x}}{x}$

$\Rightarrow f'(x) = 2\ln x.x^{\ln x - 1}$

Câu 8:

$\quad y = f(x)=\dfrac{x-1}{x^2 + 3}$

$\Rightarrow y' = f'(x) = \dfrac{-x^2 + 2x + 3}{(x^2 + 3)^2}$

$y' = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x = -1\\x = 3\end{array}\right.$

$y'' = f''(x) = (x-1)\left[\dfrac{8x^2}{x^2 + 3)^3} - \dfrac{2}{(x^2 + 3)^2}\right] - \dfrac{4x}{(x^2 + 3)^2}$

$f''(-1) = \dfrac14 >0;\quad f(-1) = -\dfrac12$

$f''(3) =-\dfrac{1}{36} <0;\quad f(3) = \dfrac16$

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại $x = -1;\ y_{\min} = -\dfrac12$

hàm số đạt cực đại tại $x = 3;\ y_{\max} = \dfrac16$

Câu 9:

$TR = PQ = 60Q$

$TC = Q^2 - 20Q + 10$

Lợi nhuận doanh nghiệp

$\quad \Pi = TR - TC$

$\Leftrightarrow \Pi = 60Q - (Q^2 - 20Q + 10)$

$\Leftrightarrow \Pi = -Q^2 + 80Q - 10$

$\Pi_{\max} = 1590 \Leftrightarrow Q = 40$

Vậy doanh nghiệp đạt lợi nhuận tối đa tại mức sản lượng $Q = 40$

Câu 10:

$Q_S = 3P - 20$

$Q_D = -2P + 30$

Thị trường cân bằng $\Leftrightarrow Q_S = Q_D$

$\Leftrightarrow 3P - 20 = -2P + 30$

$\Leftrightarrow P = 10 \Rightarrow Q = 10$

$Q_D = 0 \Rightarrow P = 15$

$Q_S = 0 \Rightarrow P = \dfrac{20}{3}$

Thặng dư sản xuất:

$PS = \dfrac12\left(10 - \dfrac{20}{3}\right)\cdot 10 = \dfrac{50}{3}$

Thặng dư tiêu dùng:

$CS = \dfrac12\left(15 - 10\right)\cdot 10 = 25$