Bài 2

Gọi A, B lần lượt là giao điểm của đường thẳng với Ox, Oy. KHi đó, tung độ của A bằng 0 và hoành độ của B bằng 0.

Dễ dàng tính được $A(m, 0)$ và $B(0, m\sqrt{3})$ 

Hạ $OH \perp AB$. Khi đó khoảng cách từ O đến đường thẳng chính là đoạn OH.

Xét tam giác OAB vuông tại O, với $OA = m$ và $OB = m\sqrt{3}$. Áp dụng hệ thức lượng ta có

$\dfrac{1}{OH^2} = \dfrac{1}{OA^2} + \dfrac{1}{OB^2}$

Vậy $OH = \dfrac{m\sqrt{3}}{4}$

Lại có khoảng cách từ O đến đường thẳng là 3 nên

$\dfrac{m\sqrt{3}}{4} = 3

$<-> m = 4\sqrt{3}$

Vậy $m = 4\sqrt{3}$.

Bài 3

a) Do A là giao điểm của $d_1$ và $d_2$ nên hoành độ của A là nghiệm của ptrinh

$x+m = 1-2x$

$<-> 3x = 1-m$
$<-> x = \dfrac{1-m}{3}$

Thay nghiệm của ptrinh trên vào $y = x+ m$, ta có hoành độ của A là $\dfrac{2m+1}{3}$

Vậy $A( \dfrac{1-m}{3}, \dfrac{2m+1}{3})$.

Do B là giao điểm của $d_1$ với trục hoành nên tung độ của B bằng 0. Do đó

$0 = x + m$

$<-> x = -m$

Vậy tọa độ điểm $B(-m,0)$.

Tương tự, tung độ điểm C bằng 0 mà $C \in d_2$ nên $C(\dfrac{1}{2}, 0)$.

b) Diện tích của tam giác ABC là

$S_{ABC} = \dfrac{1}{2} .BC . d(A, BC)$
với $d(A, BC)$ là khoảng cách từ A đến BC.

Ở đây, khoảng cách từ A đến BC là khoảng cách từ A đến Ox, do đó bằng tung độ của A và bằng $|\dfrac{2m+1}{3}|$.

Khi đó $BC = | \dfrac{1}{2} + m|$

Do đó, diện tích của tam giác BAC là

$S_{ABC} = \dfrac{1}{2} . |\dfrac{1}{2} + m| .| \dfrac{2m+1}{3}|$

$<-> 2009 = \dfrac{1}{6} |\dfrac{1}{2} + m| |2m+1|$

$<-> 2009.12 = |(1+2m)(2m+1)| = (2m+1)^2$

Vậy ta có

$2m + 1 = 6\sqrt{673}$

$<-> m =  \dfrac{6\sqrt{673}-1}{2}$

c) Ta có

$S_{ABC} = \dfrac{1}{12}(2m+1)^2$

Ta có $m \geq 0$ nên

$\dfrac{1}{12} (2m+1)^2 \geq \dfrac{1}{12} . 1^2 = \dfrac{1}{12}$

$<-> S_{ABC} \geq \dfrac{1}{12}$

Dấu "=" xảy ra khi $m = 0$.

Vậy để diện tích tam giác ABC nhỏ nhất thì $m = 0$.