Giải thích các bước giải:

 xét tam giác DBC có:

QP là đường trung bình

=> QP =1/2 BC  (1)

xét tam giác CAD có:

NP là đường trung bình

=> NP=1/2 AD (2)

xét tam giác BAD có

MQ là đường trung bình 

=> MQ= 1/2AD (3)

xét tam giác ABC có

MN là đường trung bình 

=> MN= 1/2BC (4)

ta có AD= BC (gt) (5)

từ (1), (2), (3), (4), (5) suy ra QP= NP= MQ= MN

tứ giác MNPQ có QP= NP= MQ= MN nên là hình thoi ( vì có bốn cạnh bằng nhau )

Xét `\triangle ABC` có :

$MA = MB (gt)$

$NB = NC (gt)$

`-> MN` là đường trung bình `\triangle ABC`

`=>` $MN // AC$ và `MN = 1/2 AC (1)`

$CMTT : PQ // AC$ và `QP = 1/2 AC (2)`

Từ `(1)` và `(2) : => MN // PQ` và `MN = PQ`

Xét tứ giác `MNPQ` có 2 điều trên `(cmt)`

`=>` Tứ giác `MNPQ` là hình bình hành 

Xét `\triangle ABD` có :

$MA = MB (gt)$

$QD = QA (gt)$

`=> QM` là đường trung bình của `\triangle ABD`

`=>` $QM // DB$ và `QM = 1/2 DB`

mà `AC= BD` ( tính chất hình thang cân )

`->MN = QM (3)`

Xét hình bình hành `MNPQ` có `(3)`

`-> MNPQ` là hình thoi