Giải thích các bước giải:

a)

Ta có :

MB=MF ( gt )

Mà F,B,M thẳng hàng

nên M là trung điểm của BF

Xét tứ giác ABCF có :

MA = MC ( M là trung điểm của đường chéo AC ( gt ) )

MB = MF ( M là trung điểm của đường chéo BF ( cmt ) )

⇒ ABCF là hình bình hành ( Dấu hiệu nhận biết hình bình hành )

b)

Ta có: ABCF là hình bình hành ( cmt )

nên AF//BC ( Hai cạnh đối trong hình bình hành ABCF )

hay AD//CE

Ta có:

ΔABC vuông tại A ( gt )

mà AE là đường trung tuyến ứng với cạnh BC ( E là trung điểm của BC )

Nên AE = $\frac{BC}{2}$ ( Định lí 1)

mà CE = $\frac{BC}{2}$ ( E là trung điểm BC )

⇒ AE=CE

Xét tứ giác AECD có :

AD//CE (cmt)

AD=CE (cmt)

Do đó: AECD là hình bình hành ( Dấu hiệu nhận biết hình bình hành )

Hình bình hành AECD có AE=CE ( cmt )

⇒ AECD là hình thoi ( Dấu hiệu nhận biết hình thoi )

c ) Nối MN lại 

Xét tam giác ABC có

N là trung điểm AB ( Gt)

M là trung điểm AC( gt)

⇒ MN là đg trung bình tam giác ABC

⇒ MN song song BC

Ta có MN song song BC

   mà BC ⊥ BI ( gt)

⇒ Mn ⊥BI hay Mn là đg cao

Xét tam giác BIM có :

BA làđường cao ( tam giác ABC vuông tại A- gt)

MN là đg cao ( cmt)

⇒ N là trực tâm tam giác BIA

⇒ IN là đg cao thứ 3 trong tam giác BIM hay IN ⊥ BM( đpcm)