Giải thích các bước giải:

a.Ta có $DE\perp AB, DF\perp AC, AB\perp AC$

$\to AEDF$ là hình chữ nhật

$\to AD\cap EF$ tại trung điểm mỗi đường

Vì $O$ là trung điểm $EF$

$\to O$ là trung điểm $AD$

$\to A, O, D$ thẳng hàng

b.Ta có $D, M$ đối xứng qua $E\to E$ là trung điểm $DM$

              $DE//AB(\perp AC), D$ là trung điểm $BC\to E$ là trung điểm $AB$

$\to ADBM$ là hình bình hành

Do $DE\perp AB\to DM\perp AB$

$\to ADBM$ là hình thoi

c.Vì $ADBM$ là hình thoi

$\to$Để $ADBM$ là hình vuông

$\to AD\perp DB\to AD\perp BC$

$\to\Delta ABC$ có đường cao đồng thời là trung tuyến

$\to\Delta ABC$ vuông cân tại $A$

d.Kẻ $AH\perp BC=H$

Vì $A, B, C$ cố định

$\to AH$ cố định

Ta có $\Delta AHD$ vuông tại $H, O$ là trung điểm $AD$

$\to OH=OA=OD=\dfrac12AD$

Vì $OA=OH\to O\in$ trung trực $AH$

$\to O$ di chuyển trên trung trực $AH$ cố định