a) Ta có :

  M vừa là trung điểm AC và BD 

⇒ Tứ giác ABCD là hbh.

    b) Xét tam giác ABC và tam giác NAD có :

            BC = AD ( ADBC là hbh )

            góc ABC = góc NAD ( 2 góc đồng vị )

            AB = AN ( N đói xứng vs B qua A )

    ⇒ tam giác ABC = tam giác NAD ( c.g.c )

    ⇒ góc AND = $90^{0}$ 

   Ta có : AB // CD và AB = CD mà A là trung điểm BN 

    ⇒ AN // CD và AN = CD ⇒ ANDC là hbh

  mà góc AND = $90^{0}$ ( chứng minh trên )

    ⇒ tứ giác ANDC là hcn.

   c) gọi H là giao điểm NK và AD 

 Do AH // BK mà A là trung điểm NB 

    nên AH là đương trung bình của  tam giác NBK

⇒ AH = $\frac{1}{2}$ BK 

 Do tam giác AHM = tam giác CKM ( chứng minh theo trương hợp g.c.g )

     nên AH = KC ⇒ KC = AH = $\frac{1}{2}$ BK ( ĐPCM )

   d) Do tam giác EAB = tam giác MAN ( tự chứng minh theo trương hợp g.c.g )

     nên EB = NM mà EB // NM ⇒ tứ giác ENMB là hbh

       Do ENMB có 2 đường chéo vuông góc vs nhau ( EM ⊥ BN )

     nên ENMB là hình thoi 

      Để hình thoi ENMB là hình vuông thì BM ⊥ NM 

 ⇒ tam giác BMN là hinh vuông cân

 ⇒ góc ABM = $45^{0}$ ⇒ tam giác ABM là tam giác vuông cân

 ⇒ AB = AM = $\frac{1}{2}$ AC

       Vậy để tứ giác ABMN là hình vuông 

    thì tam giác ABC có AB = $\frac{1}{2}$ AC