a) Trong tứ giác AHCE có hai đường chéo HE và AC  cắt nhau tại trung điểm D của mỗi đường(DH=DE; DA=DC)

⇒AHCE là hình bình hành

Hình bình hành AHCE có ∠AHC=90°

⇒ AHCE là hình chữ nhật

 b)

Ta có: HC//AE ( AHCE là hình chữ nhật) ( H ∈ BC )

mà I thuộc đường thẳng BC 

⇒HI // AE (1)

Có: AI//HE ( giả thiết) (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

AEHI là hình bình hành

c)

Ta có: AE=HC (AHCE là hình chữ nhật)

mà         AE= HI (AEHI là hình bình hành)

⇒HC=HI (3)

Xét Δ IHA và Δ CHA có:

HI = HC [ Từ (3)]

∠IHA = ∠CHA=90 ° ( AH là đường cao của Δ ABC)

HA cạnh chung 

⇒ Δ IHA = Δ CHA ( c.g.c)

⇒∠HAC= ∠HAI ( hai góc tương ứng)

⇒ AK là tia phân giác của ∠IAC

d)

Ta có: AE=HC (AHCE là hình chữ nhật)

mà         AE= HI (AEHI là hình bình hành)

⇒HC=HI (3)

Xét Δ IHA và Δ CHA có:

HI = HC [ Từ (3)]

∠IHA = ∠CHA=90 ° ( AH là đường cao của Δ ABC)

HA cạnh chung 

⇒ Δ IHA = Δ CHA ( c.g.c)

⇒∠HAC= ∠HAI ( hai góc tương ứng)

⇒ AK là tia phân giác của ∠IAC

VìΔ ABC là hình vuông, cân tại A

=>AHCE là hình vuông