Điều kiện xác định:

$\left\{ \begin{array}{l} x \ge  - 2\\ x \le 10\\ x \ge \dfrac{{m - 3}}{{3}} \end{array} \right.$

$\begin{array}{l} \left( {\sqrt {x + 2}  - \sqrt {10 - x} } \right)\sqrt {3x + 3 - m}  = 0\\  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sqrt {x + 2}  = \sqrt {10 - x} \\ \sqrt {3x + 3 - m}  = 0 \end{array} \right.\\  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x + 2 = 10 - x\\ 3x + 3 - m = 0 \end{array} \right.\\  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 4\\ x = \dfrac{{m - 3}}{3} \end{array} \right. \end{array}$

Để cho phương trình trên có đúng hai nghiệm phân biệt thì

Với $4<\dfrac{m-3}{3}\le 10$ thì phương trình có 1 nghiệm $x=\dfrac{m-3} 3$ loại

Với $\dfrac{m-3} 3\le -2$  thì phương trình có 2 nghiệm $x=\dfrac{m-3} 3$ và $x=4$

Với $- 2 \le \dfrac{{m - 3}}{3} < 4$ phương trình chỉ có 2 nghiệm phân biệt $x=-\dfrac{m-3} 3$ và $x=4$

 Với $\dfrac{m-3}{3}>10$ thì phương trình vô nghiệm

Với $4\le \dfrac{m-3} 3\le 10$ thì phương trình chỉ có một nghiệm là $x=\dfrac{m-3} 3$ hoặc hai nghiệm trùng nhau.

Vậy có hai trường hợp thỏa mãn là:
$\begin{array}{l}
\dfrac{{m - 3}}{3} \le  - 2 \Leftrightarrow m \le  - 3(L)\\
do\,m \in \mathbb{N}*\\
 - 2 < \dfrac{{m - 3}}{3} < 4\\
 \Leftrightarrow  - 6 < m - 3 < 12\\
 \Leftrightarrow  - 3 < m < 15\\
 \Rightarrow 1 \le m \le 14 \to 14 \text{giá trị nguyên dương}
\end{array}$

 

Đây nha