Đáp án:

$AB = a\sqrt 2 $

Giải thích các bước giải:

Gọi D là trung điểm của CC'.

Ta có:

$CD=B'P=\dfrac{CC'}{2}; CD//B'P\to CDB'P$ là hình bình hành $\to B'D//CP$

Mà mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua M và B và song song với CP.

$\to D\in (\alpha)$

$\to (\alpha)\cap (ABC.A'B'C')= \Delta MB'D$

$ \Rightarrow {S_{MB'D}} = {a^2}\sqrt 6 $

Lại có:

$\begin{array}{l}
\left( {\left( \alpha  \right),\left( {ABC} \right)} \right) = {45^0}\\
 \Rightarrow \left( {\left( \alpha  \right),\left( {A'B'C'} \right)} \right) = {45^0}\\
 \Rightarrow \left( {\left( {MB'D} \right),\left( {A'B'C'} \right)} \right) = {45^0}
\end{array}$

Mặt khác:

$A',B',C'$ lần lượt là hình chiếu của $M,B',D$ trên $(A'B'C')$

$\begin{array}{l}
 \Rightarrow \dfrac{{{S_{A'B'C'}}}}{{{S_{MB'D}}}} = \cos {45^0}\\
 \Rightarrow \dfrac{{\dfrac{{A{B^2}\sqrt 3 }}{2}}}{{{a^2}\sqrt 6 }} = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\\
 \Rightarrow AB = a\sqrt 2 
\end{array}$

Vậy $AB = a\sqrt 2 $