Đáp án:

`1`/ `Giả` `sử``:` `(2``n` `+` `5` `;` `3` `n` `+` `7)` `=``d`
`2` `n` `+` `5` `=`3` `(2``n` `+` `5)` `=` `6` `n` `+` `15` $\vdots$ `d`
`3n`` `+` `7``=` `2` `(3``n` `+` `7)` `=` `6``n` `+`14` $\vdots$ `d`
                      `1` $\vdots$ `d`
$\text{=> d=1 vậy 2n+5 và 3n+7 nguyên tố cùng nhau}$

$\text{2/ tìm số tự nhiên n để ( 3n + 8) chia hết cho (n + 1)}$

`3``n` `+` `8`  `chia` `hết` `cho` `n` `-` `1` 

`<``=``>` `3``n` `-` `3` `+` `11` $\vdots$ `n` `-` `1` 

`<``=``>` `3``(n` `-` `1)` `+` `11` $\vdots$ `n` `-` `1` 

`Vì` `3` `(n` `-` `1`) $\vdots$ `n` `-` `1` `nên` `11` $\vdots$ `n` `-` 1` 

`=``>` `n` `-``1` $\in$ `Ư``(11`)`=` `{1``;` `-1``;` `11``;` `-``11}` 

`=``>` `n` $\in$ `{2``;` `0``;` `12``;` `-` `10}`

Giải thích các bước giải:

a) Ta có: $ƯCLN(6n+15,6n+14)=1$ với mọi n là số tự nhiên

(Hai số tự nhiên liên tiếp luôn có ước chung lớn nhất là 1)

$=>ƯCLN(3(2n+5),2(3n+7))=1$

Mà $ƯCLN(3,2)=1$ nên $ƯCLN(2n+5,3n+7)=1$

Vậy với mọi số tự nhiên n thì $2n + 5$ và $3n+7$ là hai số nguyên tố cùng nhau

b) Ta có: $3n+8$

$=3n+3+5$

$=3(n+1)+5$

Vì $3(n+1)\vdots (n+1)\forall n \in N$

nên để $3(n+1)+5\vdots (n+1)$ thì $5\vdots (n+1)$

$=>n+1\in\text{Ư(5)}$

$=>n+1\in\text{{1;5}}$

$=>n\in\text{{0;4}}$

Vậy $n\in\text{{0;4}}$ thì $3n+8\vdots (n+1)$