Xét $∆ABH$ có $L;Q$ lần lượt là trung điểm $AB;AH$

`=>LQ` là đường trung bình $∆ABH$

`=>LQ`//$BH$; `LQ=1/ 2 BH`

$\\$

Xét $∆BCH$ có $N;R$ lần lượt là trung điểm $BC;CH$

`=>NR` là đường trung bình $∆BCH$

`=>NR`//$BH$; `NR=1/ 2 BH`

$\\$

`=>LQ`//$NR$; `LQ=NR`

`=>LQRN` là hình bình hành 

Gọi `I` là trung điểm $LR$

`=>I` là trung điểm $QN$

$\\$

Tương tự chứng minh được: `QMNP` là hình bình hành 

Vì `I` là trung điểm $QN$

`=>I` là trung điểm $MP$

$\\$

Xét $∆BCE$ vuông tại $E$ có $EN$ là trung tuyến (vì `N` là trung điểm $BC$)

`=>EN=BN=1/ 2 BC`

`=>∆NBE` cân tại `N`

`=>\hat{NBE}=\hat{NEB}`

$\\$

Xét $∆AEH$ vuông tại $E$ có trung tuyến $EQ$

`=>EQ=HQ=1/ 2 AH`

`=>∆QEH` cân tại `Q`

`=>\hat{QEH}=\hat{QHE}`

Ta có:

`\qquad \hat{QHE}=\hat{BHD}` (hai góc đối đỉnh)

`=>\hat{QEH}=\hat{BHD}`

`\qquad \hat{BHD}+\hat{DBH}=90°` `(∆BHD` $\perp $ tại $H$)

`=>\hat{QEH}+\hat{DBH}=90°`

`=>\hat{QEH}+\hat{NBE}=90°`

`=>\hat{QEH}+\hat{NEB}=90°`

`=>\hat{QEN}=90°`

`=>∆QEN` vuông tại `E`

Vì `I` là trung điểm $QN$ 

`=>EI` là trung tuyến $∆QEN$

`=>EI=QI=NI=1/ 2 AN` $(1)$

$\\$

Tương tự chứng minh được `∆LER` vuông tại `E`

Vì `I` là trung điểm `LR` 

`=>EI` là trung tuyến $∆LER$

`=>EI=LI=RI=1/ 2 LR` $(2)$

$\\$

Xét $∆MEP$ vuông tại `E` có trung tuyến `EI`

`=>EI=MI=PI=1/ 2 MP` $(3)$

$\\$

Từ `(1);(2);(3)=>QN=LR=MP` $(4)$

$\\$

Xét $∆QDN$ vuông tại $D$ có trung tuyến $DI$

`=>DI=1/ 2 QN` $(5)$

$\\$

Xét $∆LFR$ vuông tại $F$ có trung tuyến $FI$

`=>FI=1/ 2 LR` $(6)$

$\\$

Từ `(1);(2);(3);(4);(5);(6)`

`=>DI=EI=FI=LI=MI=NI=PI=QI=RI`

`=>9` điểm `D;E;F;L;M;N;P;Q;R` cùng nằm trên đường tròn tâm `I` đường kính $QN$