Giải thích các bước giải:

1. Vì CM, CA là tiếp tuyến của (O)
$\to CM\perp OM, CA\perp OA\to\widehat{CMO}=\widehat{CAO}=90^o$

Tứ giác $AOMC$ có $\widehat{CMO}+\widehat{CAO}=180^o$ mà chúng ở vị trí đối nhau

$\to CAOM$ nội tiếp đường tròn đường kính (OC)

Tương tự $DMOB$ nội tiếp đường tròn đường kính (OD)

2. Vì CM, CA là tiếp tuyến của (O)

$\to CM=CA, OC$ là phân giác $\widehat{AOM}$

Tương tự $DM=DB, OD$ là phân giác $\widehat{BOM}$

Mà $\widehat{AOM}+\widehat{MOB}=180^o$

$\to OC\perp OD$

Lại có $OM\perp CD\to CM.DM=OM^2\to CM.DM=R^2$

Mà $CM=CA,DM=DB\to AC.BD=R^2\to AC.3R=R^2\to AC=\dfrac{R}{3}$

$\to S_{ABCD}=\dfrac12AB(BD+CA)=\dfrac12.2R.(3R+\dfrac R3)=\dfrac{10R^2}{3}$

3. $\Delta CAM$ cân đỉnh C có CO là phân giác nên CO cũng là đường cao, đường trung tuyến nên $CO\bot AM=E$ là trung điểm của AM

Tương tự $OD\perp BM=F$ là trung điểm BM

$\to EF$ là đường trung bình $\Delta ABM\to EF//AB$ (1)

Mà $OE\perp ME, OF\perp MF, MN\perp ON$

$\Rightarrow\widehat{OEM}=\widehat{OFM}=\widehat{ONM}=90^o$

đỉnh $E, F, N$ cùng nhìn cạnh OM dưới một góc bằng $90^o$

$\to E,F,N, M, O\in$ đường tròn đường kính (OM)

$\to EFNO$ nội tiếp

$\to \widehat{OEF}+\widehat{ONF}=180^o$

Mà $\widehat{EFN}+\widehat{ONF}=180^o$ (hai góc trong cùng phía do EF//AB)

$\Rightarrow \widehat{OEF}=\widehat{EFN}$ (2)

Từ (1) và (2) $\to EFON$ là hình thang cân

4. Ta có $OM\perp CD, ME\perp OC,MF\perp OD$

$\to OE.OC=OM^2=OF.OD\to \dfrac{OE}{OD}=\dfrac{OF}{OC}$

$\Rightarrow\Delta OEF\sim\Delta ODC$ (c.g.c)
$\to \widehat{OEF}=\widehat{ODC}\to CEFD$ nội tiếp

Gọi $AM\cap (d)=G, d$ là đường thẳng qua D, d//OM

$\to d\perp CD\to \widehat{CEM}=\widehat{CDG}=90^o$

$\to CEDG$ nội tiếp đường tròn đường kính GC

$\to G,C,E,F,D\in$ đường tròn đường kính GC

$\to$Để chu vi đường tròn ngoại tiếp $\Delta CEF$ nhỏ nhất

$\to CG$ nhỏ nhất 

Mà $GD//OM, OD//AG\to MODG$ là hình bình hành $\to GD=OM=R$

$\to GC^2=CD^2+DG^2=CD^2+R^2$

Mà $CD\ge 2AB\to $Để GC nhỏ nhất

$\to CD//AB\to OM\perp CD\to M$ nằm giữa cung AB.