Đáp án:

`a,`

Xét `ΔMNK` và `ΔQNK` có :

`hat{KMN} = hat{KQN} = 90^o`

`hat{MNK} = hat{QNK}` (giả thiết)

`KN` chung

`-> ΔMNK = ΔQNK` (cạnh huyền - góc nhọn)

$\\$

$\\$

$b,$

Vì `ΔMNK = ΔQNK` (chứng minh trên)

`-> MN = QN` (2 cạnh tương ứng)

`-> ΔMNQ` cân tại `N`

mà `hat{N} = 60^o`

`-> ΔMNQ` đều

$\\$

Vì `NK` là tia phân giác của `hat{N}`

`-> hat{KNP} = 1/2 hat{N} = 1/2 . 60^o`

`-> hat{KNP} = 30^o`

Áp dụng định lí tổng 3 góc `Δ` cho `ΔMNP` có :

`hat{M} + hat{N} + hat{KPN} = 180^o`

`-> hat{KPN} = 180^o - 90^o - 60^o`

`-> hat{KPN} = 30^o`

Ta có : `hat{KNP} =30^o, hat{KPN} = 30^o`

`-> hat{KNP} = hat{KPN} = 30^o`

`-> ΔNKP` cân tại `K`

$\\$

$\\$

$c,$

Vì `ΔMNQ` đều

`-> MN = MQ = QN`

mà `MN = 4cm`

`-> MQ = 4cm`

$\\$

Vì `ΔMNQ` đều

`-> hat{QMN} = 60^o`

Ta có : `hat{QMN} + hat{QMP} = 90^o` (Vì `ΔABC` vuông tại `A`)

`-> hat{QMP} = 90^o - hat{QMN} = 90^o - 60^o`

`-> hat{QMP} = 30^o`

Áp dụng định lí tổng 3 góc `Δ` cho `ΔMNP` có :

`hat{M} + hat{N} + hat{QPM} = 180^o`

`-> hat{QPM} = 180^o - 90^o - 60^o`

`-> hat{QPM} = 30^o`

Ta có : `hat{QMP} = 30^o, hat{QPM} = 30^o`

`-> ΔMQP` cân tại `Q`

`-> PQ = QM`

mà `MQ = 4cm`

`-> PQ = 4cm`

`text{a) Xét Δ vuông MNK và Δ vuông QNK có :}`

`NK \text{chung}`

`\hat{N1} = \hat{N2} \text{(NK là phân giác)}`

`=> MN = NQ => ΔMNQ cân tại N`

`\text{b) Ta có : ΔMNQ cân tại N}`

`\text{Mà : ∠N = 60^0}`

`=> ΔMNQ đều`

`\text{Vì NK là phân giác ∠N nên :}`

`=> \hat{N1} = \hat{N2} = (\hat[N})/2 = 60^0/2 = 30^0`

`\text{ΔMNP vuông tại M có :} \hat{N} = 60^0 => \hat{P} = 30^0`

`\text{Ta có :} \hat{N2} = \hat{P} = 30^0 => \text{ΔNKP cân tại K}`

`\text{d) ΔNKP cân tại K nên đường cao KP cũng là đường trung tuyến => MQ = QP`

`\text{Ta có :} ΔMNP vuông tại M`

`\text{Mà :} \hat{P} = 30^0`

`=> MN = 1/2MP`

`=> 4 = 1/2MP`

`=> MP = 4 : 1/2`

`=> MP = 8 cm`

`\text{Vì Q là trung điểm điểm cua NP nên => NQ = PQ = 4 cm}`     

Đã trả lời tại : https://hoidap247.com/cau-hoi/198154