a) Tứ giác $AMCP$ có

$AM=CP$ (giải thiết)

$AM\parallel CP$

$\Rightarrow AMCP$ là hình bình hành

Theo tích chất hai đường chéo của hình bình hành cắt nhau tại trung điểm mỗi đường ta có:

$O$ là trung điểm của $AC\Rightarrow O$ là trung điểm của $MP$

$\Rightarrow M,O,P$ thẳng hàng.

 

Chứng minh tương tự với tứ giác $ANCQ$ là hình bình hành

$O$ là trung điểm của $AC\Rightarrow O$ là trung điểm $NQ$

$\Rightarrow N,O,Q$ thẳng hàng.

 

b) Tứ giác $MNPQ$ có hai đường chéo $MP$ và $NQ$ cắt nhau tạo $O$ là trung điểm mỗi đường

$\Rightarrow MNPQ$ là hình bình hành

Ta có $ABCD$ là hình thoi $\Rightarrow AB=BC$

Và $AM=CN$ (giả thiết)

$\Rightarrow BM=AB-AM=BC-CN=BN$

$\Rightarrow \dfrac{BM}{BA}=\dfrac{BN}{BC}$

Theo định lý $Ta$-$let$

$\Rightarrow MN\parallel AC$ (1)

Chứng minh tương tự $MQ\parallel BD$ (2)

Mà $AC\bot BD$ (3)

Từ (1), (2) và (3) $\Rightarrow MN\bot MQ$

$\Rightarrow \widehat{NMQ}=90^o$

Ta có $MNPQ$ là hình bình hành có $\widehat{NMQ}=90^o$

$\Rightarrow MNPQ$ là hình chữ nhật.