a) Do số học sinh khối 6 khi xếp hàng 10 em, 12 em, 15 em hoặc 18 em đều vừa đủ nên số học sinh lớp 6 phải là bội của 10, 12, 15, và 18. Do đó nó là bội chung của 10, 12, 15, 18.

Ta có

$10 = 2.5, 12 = 2^2.3, 15 = 3.5, 18 = 2.3^2$

Vậy

$BCNN(10, 12, 15, 18) = 180$

Do đó, số học sinh khối 6 là $180k$ với $k$ là một số tự nhiên nào đó.

Lại có

$200 < 180 k < 500$

nên 

$1 < k \leq 2$

Vậy số học sinh lớp 6 là $180.2 = 360$ (học sinh)

b) Để số đã cho chia hết cho 3 và 9, ta chỉ cần số đó chia hết cho 9.

Để số đã cho chia hết cho 9 thì tổng các chữ số của nó phải chia hết cho 9, có nghĩa là

$4 + * + 5 + 7 + 8 \vdots 9$

$\Leftrightarrow 24 + * \vdots 9$

Vậy $* = 3$. Do đó số cần tìm là $43578$.

c) Do khi chia số $n$ cho 255 ta đc số dư là 176 nên ta có

$n = 255k + 176$ với $k$ là một số tự nhiên nào đó.

Mặt khác, ta lại có

$n = 255k + 176 = 3.85.k + 170 + 6 = 3.85.k + 85.2 + 6 = 85(3k + 2) + 6$

Vậy $n$ chia 85 dư 6, do đó ko chia hết cho 85.