Giải thích các bước giải:

Ta có:

\[\begin{array}{l}
{\left( {a - b} \right)^2} \ge 0 \Leftrightarrow {a^2} - 2ab + {b^2} \ge 0\\
 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} \ge 2ab
\end{array}\]

Dấu '=' xảy ra khi và chỉ khi a=b

Áp dụng ta có:

\[\begin{array}{l}
\left( {1 + \frac{a}{b}} \right)\left( {1 + \frac{b}{c}} \right)\left( {1 + \frac{c}{a}} \right) \ge \left( {2.\sqrt 1 .\sqrt {\frac{a}{b}} } \right)\left( {2\sqrt 1 \sqrt {\frac{b}{c}} } \right)\left( {2\sqrt 1 \sqrt {\frac{c}{a}} } \right)\\
 = 8\sqrt {\frac{a}{b}.\frac{b}{c}.\frac{c}{a}}  = 8
\end{array}\]

Từ giả thiết suy ra dấu '=' của BĐT trên phải xảy ra hay a=b=c

Vậy tam giác đã cho là tam giác đều

Ta khai thác giả thiết :

$\bigg(1+\dfrac{a}{b}\bigg).\bigg(1+\dfrac{b}{c}\bigg).\bigg(1+\dfrac{c}{a}\bigg) = 8$

$\to 2+\dfrac{c}{a}+\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{b}+\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}=8$

$\to \dfrac{c}{a}+\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{b}+\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}=6$

Ta chứng minh $BĐT$ phụ sau : $\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x} ≥ 2 $ với $x,y>0$

Thật vậy, $BĐT$ cần chứng minh tương đương :

$\dfrac{(x-y)^2}{xy} ≥ 0 $ ( Luôn đúng với $x,y > 0 $ )

Do đó, $\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x} ≥ 2 $ với $x,y>0$

Áp dụng vào bài toán với $a,b,c>0$ thì :

$\dfrac{c}{a}+\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{b}+\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a} ≥ 2+2+2=6$

Dấu "=" xảy ra $⇔a=b=c$

Hay tam giác có ba cạnh là $a,b,c$ là tam giác đều.

Vậy ta có điều phải chứng minh !