a/ Vì $A,B,C$ cùng thuộc nửa đường tròn tâm $O$

$→ΔABC$ nội tiếp nửa đường tròn tâm $O$

mà $BC$ là đường kính của nửa đường tròn tâm $O$

$→ΔABC$ vuông tại $A$ 

b/ Áp dụng định lý Pytago vào $ΔABC$ vuông tại $A$:

$AB^2+AC^2=BC^2$ hay $5^2+(5\sqrt 3)^2=BC^2$

$↔25+75=BC^2\\↔100=BC^2\\→10=BC(BC>0)\\→R=\dfrac{BC}{2}=\dfrac{10}{2}=5(cm)$

Áp dụng hệ thức lượng vào $ΔABC$ vuông tại $A$ có đường cao $AH$:

$AB^2=BH.BC$ hay $5^2=BH.10$

$↔25=BH.10\\↔BH=2,5(cm)$

Xét $ΔABC$ vuông tại $A$:

$\cos B=\dfrac{AB}{BC}$ hay $\cos B=\dfrac{5}{10}$

$↔\cos B=\dfrac{1}{2}\\→\widehat B=60^\circ$

Vậy $R=5cm;BH=2,5cm;\widehat B=60^\circ$

$a.$

Xét $ΔABC$ có: $BC$ là đường kính, $∠BAC$ là góc chắn nửa đường tròn

$⇒∠BAC=90^o$.

Vậy tam giác $ABC$ vuông tại $A$.

$b.$

- Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ $⇒BC^2=AB^2+AC^2⇒BC=10$

$⇒R=\frac{BC}{2} =5$

- Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ $⇒AB^2=BH.BC⇔25=BH.10⇔BH=2,5$

- Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nên ta có: $tanB=\sqrt[]{3}⇒B=60^o$