Chứng tỏ rằng: a) A = 1 + 3 + 3^2 + … + 3^10 + 3^11 chia

* Hướng dẫn giải

a) A = 1 + 3 + 3² + … + 3¹⁰ + 3¹¹ 

= (1 + 3 + 3² + 3³) + (3⁴ + 3⁵ + 3⁶ + 3⁷) + … + (3⁸ + 3⁹ + 3¹⁰ + 3¹¹)

= (1 + 3 + 3² + 3³) + 3⁴.(1 + 3 + 3² + 3³) + … + 3⁸.(1 + 3 + 3² + 3³)

= (1 + 3 + 9 + 27) + 3⁴.(1 + 3 + 9 + 27) + … + 3⁸.(1 + 3 + 9 + 27) 

= 40 + 3⁴.40 + 3⁸.40

= 40.( 1 + 3⁴ + 3⁸).

Vì 40 chia hết cho 5 và 8 nên 40.( 1 + 3⁴ + 3⁸) chia hết cho cả 5 và 8.

Vậy A chia hết cho cả 5 và 8.

b) B = 1 + 5 + 5² + … + 5⁷ + 5⁸ 

= (1 + 5 + 5²) + (5³ + 5⁴ + 5⁵) + (5⁶ + 5⁷ + 5⁸)

= (1 + 5 + 5² ) + 5³.(1 + 5 + 5²) + 5⁶.(1 + 5 + 5²)

= (1 + 5 + 25) + 5³.(1 + 5 + 25) + 5⁶.(1 + 5 + 25)

= 31 + 5³.31 + 5⁶.31

= 31.(1 + 5³ + 5⁶).

Vì 31 chia hết 31 nên 31.(1 + 5³ + 5⁶) chia 31.

Vậy B chia hết 31.