Tìm số nguyên tố p thỏa mãn mỗi điều kiện sau

* Hướng dẫn giải

a) p nguyên tố, p + 1 cũng là số nguyên tố

Nếu p = 2 thì p + 1 = 3 là số nguyên tố.

Nếu p > 2 thì p là số lẻ lớn hơn 2 suy ra p + 1 là số chẵn lớn hơn 2. Do đó p + 1 không là số nguyên tố (không thỏa mãn).

Vậy p = 2.

b) p nguyên tố, p + 2 và p + 4 đều là số nguyên tố.

Nếu p = 2 thì p + 2 = 4, p + 4 = 6 đều là hợp số (không thỏa mãn).

Nếu p = 3 thì p + 2 = 5, p + 4 = 7 đều là các số nguyên tố (thỏa mãn).

Nếu p > 3:

+) p chia cho 3 dư 1 thì p + 2 chia hết cho 3 và p + 2 > 3 nên p + 2 là hợp số (không thỏa mãn).

+) p chia cho 3 dư 2 thì p + 4 chia hết cho 3 và p + 4 > 3 nên p + 4 là hợp số (không thỏa mãn).

Vậy p = 3.

c) p + 2; p + 6; p + 14; p + 18 đều là số nguyên tố

Nếu p = 2 thì p + 2 = 4; p + 6 = 8; p + 14 = 16; p + 18 = 20 đều là hợp số (không thỏa mãn).

Nếu p = 3 thì p + 2 = 5; p + 14 = 17; là số nguyên tố và p + 6 = 9; p + 18 = 21 là hợp số (không thỏa mãn).

Nếu p = 5 thì p + 2 = 7; p + 6 = 11; p + 14 = 19; p + 18 = 23 là các số nguyên tố (thỏa mãn).

Nếu p > 5:

+) p chia 5 dư 1 thì p + 14 chia hết cho 5 và p + 14 > 5 nên p + 14 là hợp số (không thỏa mãn).

+) p chia 5 dư 2 thì p + 18 chia hết cho 5 và p + 18 > 5 nên p + 18 là hợp số (không thỏa mãn).

+) p chia 5 dư 3 thì p + 2 chia hết cho 5 và p + 2 > 5 nên p + 2 là hợp số (không thỏa mãn).

+) p chia 5 dư 4 thì p + 6 chia hết cho 5 và p + 6 > 5 nên p + 6 là hợp số (không thỏa mãn).

Vậy p = 5.