Cho bảng gồm 2 015x2 015 ô vuông nhỏ (Hình 9)

* Hướng dẫn giải

Giả sử tổng của 4 030 số x_i,y_j bằng 0.

Ta có x₁ + x₂ + … + x₂₀₁₅ + y₁ + y₂ + … + y₂₀₁₅  = 0.

Mà mỗi số x_i, y_i đều bằng 1 hoặc -1 nên trong 4 030 số x_i, y_i có 2 015 số bằng -1 và 2 015 số bằng 1.

Do đó tích x₁.x₂…x₂₀₁₅.y₁.y₂…y₂₀₁₅  = - 1 (vì số các thừa số bằng -1 là lẻ). (1)

Mặt khác x₁.x₂…x₂₀₁₅ = y₁.y₂…y₂₀₁₅  (đều là tích của các số trong bảng).

Suy ra x₁.x₂…x₂₀₁₅.y₁.y₂…y₂₀₁₅ = (x₁.x₂…x₂₀₁₅)² = 1. (mâu thuẫn với (1)).

Do đó giải sử sai.

Vậy tổng của 4 030 số x_i,y_j nhận được khác 0.