Chứng minh rằng phân số 3n + 2/(5n + 3) tối giản với mọi số tự nhiên n.

Gọi d = ƯCLN(3n +2; 5n + 3) (d \( \in {\mathbb{N}^*}\))

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {3n + 2} \right) \vdots d\\\left( {5n + 3} \right) \vdots d\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}5.\left( {3n + 2} \right) \vdots d\\3.\left( {5n + 3} \right) \vdots d\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}15n + 10 \vdots d\\15n + 9 \vdots d\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \left[ {\left( {15n + 10} \right) - \left( {15n + 9} \right)} \right] \vdots d\)

\( \Leftrightarrow \left( {15n + 10 - 15n - 9} \right) \vdots d\)

\( \Leftrightarrow 1 \vdots d\)

\( \Rightarrow d = 1\)

Vậy phân số đã cho tối giản.