Cho A = 1 + 3 + 32 + 33 + … + 3101. Chứng minh rằng A chia hết cho 13

Lời giải
Số các số hạng là: 101 – 0 + 1 = 102 số.
Ta nhận thấy:
1 + 3 + 3² = 1 + 3 + 9 = 13;
3³ + 3⁴ + 3⁵ = 3³(1 + 3 + 3²) = 3³.13;
…
Mà 102 có tổng các chữ số là 1 + 0 + 2 = 3 chia hết cho 3 nên 102 chia hết cho 3, nghĩa là:
A = (1 + 3 + 3²) + (3³ + 3⁴ + 3⁵) + … + (3⁹⁹ + 3¹⁰⁰ + 3¹⁰¹)
= (1 + 3 + 3²) + 3³(1 + 3 + 3²) + … + 3⁹⁹(1 + 3 + 3²)
= 13 + 3³.13 + … + 3⁹⁹.13
= 13.(1 + 3³ + … + 3⁹⁹) chia hết cho 13.
Vậy A chia hết cho 13.