Hai vật I và II đồng chất, được làm cùng một loại chất liệu

Câu hỏi :

Hai vật I và II đồng chất, được làm cùng một loại chất liệu không thấm nước và có cùng chiều cao H = 8cm. Vật I có dạng hình trụ tiết diện đều, đường kính đáy D = 8cm; vật II dạng hình nón, đường kính đáy cũng bằng D = 8cm.

- Thả vậy I vào một bình nước hình trụ thì nổi trong nước ở trạng thái thẳng đứng, làm cho nước trong bình dâng cao thêm 3cm, khi đó mặt đáy trên của vật I ngang qua miệng bình và cao hơn mặt nước trong bình 1cm.

Biết khối lượng riêng của nước là ρ_n = 1 kg/lít.

a. Tính khối lượng riêng của hai vật trên và bán kính R của đáy bình.

b. Bây giờ lấy vật I ra khỏi bình, rồi thả vật II vào bình, sao cho đỉnh hình nón nằm phía trên và trục đối xứng của nó có phương thẳng đứng. Hãy so sánh độ cao của đỉnh hình nón và miệng bình.

* Đáp án

* Hướng dẫn giải

Diện tích đáy của hai vật : $S=\frac{\pi D^2}{4}$

Chiều dài phần vật I nổi trên mặt nước là : x = 1cm

=> Chiều dài phần chìm trong nước là : y = H – x = 7cm

Điều kiện cân bằng cho vật I là : $\rho SH={\rho }_n{S}_y\Rightarrow \rho ={\rho }_n.\frac{y}{H}=\frac{7}{8}.{\rho }_n=0,875(kg/lit)$

(với ρ là khối lượng riêng của hai vật)

Phần vật I chìm trong nước chính là thể tích của nước bị chiếm chỗ. Nên: $Sy=\pi R^{2}h$

(với h = 3cm là mực nước trong bình dâng cao thêm)

$\iff \frac{\pi D^{2}y}{4}=\pi R^{2}h\Rightarrow R=D\sqrt{\frac{y}{4h}}=8\sqrt{\frac{7}{12}}\approx 6,11cm$

b) Gọi x’ là chiều cao phần vật II nổi trên mặt nước.

 

Thể tích vật II là : $V=\frac{1}{3}SH$

Thể tích vật II nổi trên mặt nước là : $V_1=\frac{1}{3}S.\frac{x^{\text{'}3}}{H^2}$

=> Thể tích vật II chìm trong nước là : $V_2=V-V_1=\frac{1}{3}S.\left(H-\frac{x^{\text{'}3}}{H^2}\right)$

Điều kiện cân bằng của vật II là : $\rho V={\rho }_n{V}_2\Rightarrow \frac{7}{8}H=H-\frac{x^{\text{'}3}}{H^2}\Rightarrow x^{\text{'}}=\frac{H}{2}=4cm$

Giả sử h’ là chiều cao mực nước trong bình dâng thêm

Ta có :$V_2=\pi R^2{h}^{\text{'}}\iff \frac{7\pi D^{2}H}{96}=\pi R^2{h}^{\text{'}}\Rightarrow h^{\text{'}}=\frac{7D^{2}H}{96R^2}=1cm$

Vậy miệng bình cao hơn đỉnh hình nón : $\Delta =\left(h+x\right)-\left(h^{\text{'}}+x^{\text{'}}\right)=-1cm$

Hay đỉnh hình nón cao hơn miệng bình 1cm.