a) Tính \(\frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + \frac{1}{{3.4}} + ... + \frac{1}{{2018.2019}}\)b) Cho 2018 số tự nhiên là \({a_1};{a_2};{a_3};.

* Hướng dẫn giải

a) \(\frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + \frac{1}{{3.4}} + ... + \frac{1}{{2018.2019}} = \frac{1}{1} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{{2018}} - \frac{1}{{2019}} = 1 - \frac{1}{{2019}}\)

b) Giả sử trong 2018 số đó chẳng có số nào bằng nhau và tất cả các số đều lớn hơn 1. Thế thì:

\(\frac{1}{{a_1^2}} + \frac{1}{{a_2^2}} + \frac{1}{{a_3^2}} + ... + \frac{1}{{a_{2018}^2}} \le \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + \frac{1}{{{4^2}}} + ... + \frac{1}{{{{2019}^2}}}\)

Mà \(\frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + \frac{1}{{{4^2}}} + ... + \frac{1}{{{{2019}^2}}} < \frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + \frac{1}{{3.4}} + ... + \frac{1}{{2018.2019}}\)

\(1 - \frac{1}{{2019}} < 1\)

Theo đề ta có \(\frac{1}{{a_1^2}} + \frac{1}{{a_2^2}} + \frac{1}{{a_3^2}} + ... + \frac{1}{{a_{2018}^2}} = 1\) (vô lý)

Vậy thể nào trong 2018 số tự nhiên đó cũng có 2 số bằng nhau.